Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
\sqrt[3]{\frac{1}{27}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: foi dada a expressão \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} e o pedido é calcular essa raiz cúbica sem usar calculadora. Informação útil: o numerador é 1 e o denominador é 27.

Passo 2

Relembrando uma regra básica de potências e raízes (explicando devagarinho): a raiz enésima pode ser escrita como potência com expoente 1/n. Ou seja,
\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
Além disso, para números positivos vale a propriedade
\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},
que vem diretamente de
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/n}=\dfrac{a^{1/n}}{b^{1/n}}.
Aqui usaremos essas relações com n=3.

Passo 3

Fatore o denominador 27. Note que
27=3^3,
porque 3\cdot3\cdot3=27. Esse é o ponto chave: 27 já é um cubo perfeito.

Passo 4

Aplique as propriedades ao problema:
\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}.
Agora calcule as duas raízes simples: \sqrt[3]{1}=1 (pois 1^3=1) e, por causa do passo anterior, \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3. Portanto
\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): elevando \dfrac{1}{3} ao cubo obtém-se
\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27},
logo \dfrac{1}{3} é de fato a raiz cúbica de \dfrac{1}{27}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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