Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a raiz cúbica do número -\dfrac{1}{27}. Ou seja, encontrar um número x tal que x^3 = -\dfrac{1}{27}. As informações dadas são apenas o valor dentro da raiz: -\dfrac{1}{27}.

Passo 2

Lembrete sobre raiz cúbica (conceito útil): a raiz cúbica de um número a, escrita \sqrt[3]{a}, é o número x tal que x^3=a. Para raízes cúbicas (índice ímpar) vale a propriedade de sinais: se a<0 então \sqrt[3]{a} é negativo e \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}. Isso porque (-\alpha)^3 = -\alpha^3.

Passo 3

Usar a propriedade de fatoração dentro da raiz: podemos escrever
-\frac{1}{27} = (-1)\cdot\frac{1}{27},
e a raiz cúbica separa produto em produto das raízes (para números reais):
\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=\sqrt[3]{-1}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{27}}.

Passo 4

Calcular cada fator:
  • \sqrt[3]{-1} = -1, porque (-1)^3=-1.
  • Para \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}, observe que 27=3^3. Logo
\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=\left(\frac{1}{3}\right)^3,
portanto \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\sqrt[3]{-1}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = (-1)\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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