Calcule as raízes dos números complexos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as raízes cúbicas de
.
Ou seja, encontrar todos os números complexos tais que
Ou seja, encontrar todos os números complexos
Informações dadas: o número complexo alvo é
, que, no plano complexo, corresponde ao ponto
. A tarefa é listar todas as três raízes cúbicas (existem exatamente três, pois uma equação
constante tem três soluções complexas).
Passo 2
Primeiro vamos aprender a escrever um número complexo numa forma que facilita tirar raízes. Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde:
-
é o módulo de , isto é, se ; -
é o argumento de , a direção do vetor no plano complexo (um ângulo medido a partir do eixo real positivo).
Essa forma é ótima porque, usando, potências e raízes ficam fáceis: .
Passo 3
Vamos colocar
nessa forma. O ponto de
é
, então
logo
. O argumento
é o ângulo que aponta para baixo: podemos escolher
(ou, equivalentemente,
; todas as escolhas diferem por um múltiplo de
). Vou usar
Portanto
Passo 4
Agora a regra para as raízes
-ésimas: se
, então as
raízes
de
são
Explicando os símbolos:
-
é a raiz real do módulo ; -
é o argumento escolhido para ; - o termo
garante que pegamos todas as representações equivalentes de (lembrando que e representam o mesmo ponto), e dividir por dá as direções das raízes; - os diferentes
produzem as raízes distintas e igualmente espaçadas no círculo de raio .
Aqui
,
,
. Assim as raízes são
Passo 5
Calculemos para cada
.
k = 0:
Logo
Como
e
, e
é par,
é ímpar,
k = 1:
Portanto
k = 2:
Então
Como
, temos
e
. Logo
Passo 6
Verificação rápida (conceitual): cada raiz está na forma
com
tal que
para algum inteiro
. Ao elevar ao cubo,
portanto todas as três soluções encontradas são, de fato, raízes cúbicas de
. Exemplo rápido:
.