Calcule as raízes dos números complexos abaixo:
\sqrt[3]{-i}

Passo 1

O enunciado pede: calcular as raízes cúbicas de -i.
Ou seja, encontrar todos os números complexos z tais que
z^{3} = -i.
Informações dadas: o número complexo alvo é -i, que, no plano complexo, corresponde ao ponto (0,-1). A tarefa é listar todas as três raízes cúbicas (existem exatamente três, pois uma equação z^3 = constante tem três soluções complexas).

Passo 2

Primeiro vamos aprender a escrever um número complexo numa forma que facilita tirar raízes. Qualquer número complexo w pode ser escrito como
w = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta},
onde:
  • r é o módulo de w, isto é, r = |w| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} se w = x+iy;
  • \theta é o argumento de w, a direção do vetor no plano complexo (um ângulo medido a partir do eixo real positivo).
    Essa forma é ótima porque, usando e^{i\theta}, potências e raízes ficam fáceis: (r e^{i\theta})^{n} = r^{n} e^{i n\theta}.

Passo 3

Vamos colocar -i nessa forma. O ponto de -i é (0,-1), então
|{-}i| = \sqrt{0^{2}+(-1)^{2}} = 1,
logo r=1. O argumento \theta é o ângulo que aponta para baixo: podemos escolher \theta = -\dfrac{\pi}{2} (ou, equivalentemente, \theta = \dfrac{3\pi}{2}; todas as escolhas diferem por um múltiplo de 2\pi). Vou usar
\theta = -\dfrac{\pi}{2}.
Portanto
-i = 1\cdot e^{i(-\pi/2)} = e^{-i\pi/2}.

Passo 4

Agora a regra para as raízes n-ésimas: se w = r e^{i\theta}, então as n raízes z de w são
z_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando os símbolos:
  • r^{1/n} é a raiz real do módulo r;
  • \theta é o argumento escolhido para w;
  • o termo 2k\pi garante que pegamos todas as representações equivalentes de \theta (lembrando que \theta e \theta+2\pi representam o mesmo ponto), e dividir por n dá as direções das raízes;
  • os diferentes k produzem as raízes distintas e igualmente espaçadas no círculo de raio r^{1/n}.
Aqui n=3, r=1, \theta = -\dfrac{\pi}{2}. Assim as raízes são
z_k = e^{i(-\pi/2 + 2k\pi)/3},\qquad k=0,1,2.

Passo 5

Calculemos para cada k.
k = 0:
\text{arg} = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6}.
Logo
z_{0} = e^{-i\pi/6} = \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right).
Como \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, e \cos é par, \sin é ímpar,
z_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.
k = 1:
\text{arg} = \frac{-\pi/2 + 2\pi}{3} = \frac{-\pi/2 + 4\pi/2}{3} = \frac{3\pi/2}{3} = \frac{\pi}{2}.
Portanto
z_{1} = e^{i\pi/2} = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i\cdot 1 = i.
k = 2:
\text{arg} = \frac{-\pi/2 + 4\pi}{3} = \frac{-\pi/2 + 8\pi/2}{3} = \frac{7\pi/2}{3} = \frac{7\pi}{6}.
Então
z_{2} = e^{i7\pi/6} = \cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right).
Como \frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}, temos \cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}. Logo
z_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (conceitual): cada raiz está na forma e^{i\varphi} com \varphi tal que 3\varphi = -\dfrac{\pi}{2} + 2m\pi para algum inteiro m. Ao elevar ao cubo,
\left(e^{i\varphi}\right)^{3} = e^{i3\varphi} = e^{i(-\pi/2 + 2m\pi)} = e^{-i\pi/2} = -i,
portanto todas as três soluções encontradas são, de fato, raízes cúbicas de -i. Exemplo rápido: i^{3} = i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}
\,i
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}

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