O enunciado pede: descrever geometricamente a região dada por \lvert 2z+3\rvert>4.
Informações fornecidas: a expressão envolve um número complexo z, o valor absoluto (módulo) \lvert\cdot\rvert, e os constantes 2, 3 e 4. A tarefa é dizer quais pontos do plano complexo satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Lembrete importante (aula rápida): para um complexo w=a+ib vale
\lvert w\rvert=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
que é a distância do ponto (a,b) ao origem. Mais geralmente, para dois complexos z e z_{0},
\lvert z-z_{0}\rvert
é a distância entre os pontos correspondentes a z e z_{0}. Isso significa que desigualdades do tipo \lvert z-z_{0}\rvert<r ou \lvert z-z_{0}\rvert>r descrevem, respectivamente, o interior e o exterior (com possível inclusão da fronteira dependendo de \le ou <) de um círculo de centro z_{0} e raio r.
Passo 3
Reescrevemos a expressão para deixar a forma \lvert z - z_{0}\rvert clara. Note que
2z+3 = 2\left(z+\frac{3}{2}\right).
Aplicando o módulo e usando que \lvert\alpha w\rvert=\lvert\alpha\rvert\lvert w\rvert para escalar real positivo \alpha, obtemos
Substituindo na desigualdade \lvert 2z+3\rvert>4 resulta
2\left\lvert z+\frac{3}{2}\right\rvert>4.
Dividindo ambos os lados por 2 (positivo, logo a desigualdade se mantém) obtemos
\left\lvert z+\frac{3}{2}\right\rvert>2.
Passo 5
Interpretando geometricamente a desigualdade obtida:
\left\lvert z - \left(-\frac{3}{2}\right)\right\rvert>2
diz que a distância do ponto z ao ponto -\tfrac{3}{2}+0i é maior que 2. Portanto os pontos satisfeitos são exatamente os que estão estritamente fora do círculo de centro \left(-\tfrac{3}{2},0\right) e raio 2. A desigualdade estrita > exclui a fronteira (o círculo em si).
Passo 6
Como verificação alternativa, escrevendo z=x+iy e desenvolvendo:
\lvert 2z+3\rvert=\sqrt{(2x+3)^{2}+(2y)^{2}}.
A desigualdade \sqrt{(2x+3)^{2}+4y^{2}}>4 ao elevar ao quadrado (ambos lados não negativos) dá
(2x+3)^{2}+4y^{2}>16.
Dividindo por 4 obtemos
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}>4,
que é a equação do exterior do círculo de centro \left(-\tfrac{3}{2},0\right) e raio 2, consistente com o passo anterior.
Resposta
Conjunto dos pontos do plano complexo situados fora do círculo de centro -\tfrac{3}{2}+0i e raio 2 (fronteira excluída), isto é \{z\in\mathbb{C}:\lvert z+\tfrac{3}{2}\rvert>2\}.