Reduza à forma r e^{i \theta}:
1-\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo 1-\sqrt{3}\,i na forma polar-exponencial r e^{i\theta}.
Informações dadas: a parte real é 1 e a parte imaginária é -\sqrt{3}.

Passo 2

O que significa escrever na forma r e^{i\theta}? Vou explicar rapidinho e de um jeito tranquilo. Um número complexo z=x+iy pode ser representado em coordenadas polares por dois números:
r=\text{o módulo}=\sqrt{x^{2}+y^{2}},ó
\theta=\text{o argumento}=\text{ângulo entre o eixo real positivo e o vetor }(x,y).â
A relação com a forma exponencial vem da fórmula de Euler:
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
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z=r(\cos\theta + i\sin\theta)=r e^{i\theta}.
Aqui x é a abscissa (parte real) e y é a ordenada (parte imaginária). Sempre cuide da quadrante para escolher \theta corretamente.

Passo 3

Calculemos o módulo r. Para x=1 e y=-\sqrt{3},
r=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Agora o argumento \theta. Primeiro usamos a tangente:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}.
A equação \tan\theta=-\sqrt{3} tem soluções básicas \theta=-\frac{\pi}{3}+k\pi. Para escolher a correta, olhamos o sinal de x e y: aqui x=1>0 e y=-\sqrt{3}<0, então o ponto está no quarto quadrante. No quarto quadrante o ângulo principal correspondente é
\theta=-\frac{\pi}{3}.
(Alternativamente, um ângulo equivalente entre 0 e 2\pi é \theta=\frac{5\pi}{3}.)

Passo 5

Verificação rápida usando coseno e seno conhecidos:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
2\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =1-\sqrt{3}\,i,
que é exatamente o número dado. Perfeito!

Passo 6

Usando a fórmula de Euler, escrevemos a forma exponencial. As representações equivalentes são:
2e^{-i\pi/3}\quad\text{ou}\quad 2e^{i5\pi/3}.

Resposta

2e^{-i\pi/3}
2e^{i5\pi/3}

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