Calcule as raízes dos números complexos dados abaixo e faça a representação gráfica correspondente.
raiz2 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes quadradas do número complexo 2i e depois ilustrar essas raízes no plano complexo. O conteúdo é radiciação de número complexo usando forma polar e a fórmula geral das n-ésimas raízes.

Passo 2

Escrevemos 2i em forma polar. Seu módulo é
r = |2i| = 2,
e seu argumento principal é
theta = arg(2i) = pi2
Logo,
2i = 2l(cospi2 + isinpi2r)

Passo 3

Para achar as raízes quadradas usamos a fórmula
zk = raizr,gl(costheta+2pi k2 + isintheta+2pi k2gr),
com k=0,1 e raizr=raiz2.

Passo 4

Calculando para k=0:
z0 = raiz2gl(cospi/22 + isinpi/22gr) = raiz2l(cospi4 + isinpi4r) = 1 + i
Para k=1:
z1 = raiz2gl(cospi/2+2pi2 + isinpi/2+2pi2gr) = raiz2l(cos5pi4 + isin5pi4r) = -1 - i

Passo 5

No plano complexo, essas raízes são pontos de módulo raiz2 e ângulos pi/4 e 5pi/4. Ou seja, os pontos (1,1) e (-1,-1).

Resposta

z1 = 1 + i, z2 = -1 - i

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