Represente graficamente os números complexos z1, z2, z1 z2 e z1z2, onde z1=1+i2 raiz2 e z2=1+i raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para colocar no plano de Argand (plano xy) os pontos correspondentes aos complexos
;z1=1+i2raiz2,
;z2=1+iraiz3,
;z1z2 e ;z1z2.
Vamos usar as formas polar e cartesiana de cada número, além das propriedades
l|z1z2r|=|z1|,|z2|, arg(z1z2)=arg z1+arg z2 e
l|z1z2r|=|z1||z2|, argl(z1z2r)=arg z1-arg z2.

Passo 2

Calculemos primeiro z1 e z2 em forma cartesiana e polar.
Em cartesiano:
z1=1+i2raiz2 =12raiz2+i2raiz2, z2=1+iraiz3
Portanto as coordenadas são
Re z1=Im z1=12raiz2=raiz24, Re z2=1,; Im z2=raiz3
Em polar temos
|z1|=|1+i|2raiz2=raiz22raiz2=12, arg z1=pi4,
|z2|=raiz1^2+(raiz3)^2=2, arg z2=pi3

Passo 3

Para o produto ;z1z2 usamos
|z1z2|=|z1|,|z2|=12cdot2=1, arg(z1z2)=pi4+pi3=7pi12
Em cartesiano,
z1z2 =cos7pi12+isin7pi12,
ou, desenvolvendo em radicais,
cos7pi12=-raiz6-raiz24, sin7pi12=raiz6+raiz24,
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z1z2 =,-raiz6-raiz24 ;+;i,raiz6+raiz24

Passo 4

Para o quociente ;z1z2 aplicamos
l|z1z2r| =tfrac122=14, arg!l(tfracz1z2r) =pi4-pi3=-pi12
Em cartesiano isso dá
z1z2 =14l(cos(-tfracpi12)+isin(-tfracpi12)r) =14l(costfracpi12-isintfracpi12r)
e usando
costfracpi12=raiz6+raiz24,
sintfracpi12=raiz6-raiz24,
obtemos
z1z2 =raiz6+raiz216 ;-;i,raiz6-raiz216

Passo 5

Para desenhar no plano de Argand trace o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical e marque os pontos:
;z1=(tfracraiz24,,tfracraiz24) em direção pi/4 a distância 1/2,
;z2=(1,raiz3) em direção pi/3 a distância 2,
;z1z2=l(-tfracraiz6-raiz24,,tfracraiz6+raiz24r) em direção 7pi/12 a distância 1,
;tfracz1z2=l(tfracraiz6+raiz216,,-tfracraiz6-raiz216r) em direção -pi/12 a distância 1/4.

Resposta

z1 em l(tfracraiz24,tfracraiz24r) com módulo tfrac12, argumento tfracpi4.
z2 em (1,raiz3) com módulo 2, argumento tfracpi3.
z1 z2 em l(-tfracraiz6-raiz24,tfracraiz6+raiz24r) com módulo 1, argumento tfrac7pi12.
tfracz1z2 em l(tfracraiz6+raiz216,-tfracraiz6-raiz216r) com módulo tfrac14, argumento -tfracpi12.

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