a) Calcule a razāo da massa relativística de um elétron para sua massa de repouso para as seguintes velocidades da partícula: beta=0,1 ; 0,5 ; 0,9 ; 0,99 ; 0,999.
b) Calcule as energias cinéticas do elétron nas velocidades do item (a) em Je em MeV. c) Resolva o item anterior para um próton e faça uma comparação com as energias cinéticas do elétron.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede três coisas:
a) Calcular a razão da massa relativística pela massa de repouso de um elétron para cinco velocidades definidas pelo parâmetro .
b) Calcular a energia cinética desse elétron, em joule (J) e em MeV, nessas mesmas velocidades.
c) Fazer tudo isso de novo para um próton e comparar com os valores do elétron.
O assunto é Relatividade Restrita: vamos usar o fator de Lorentz e a fórmula da energia cinética relativística.

Passo 2

Primeiro, revisando a teoria de forma simples:
  1. O fator de Lorentz é
gamma ;=;1raiz1-beta^2,,beta=vc
  1. A massa relativística é mrm relm0 ;=;gamma . Logo a razão pedida é
K ;=;(gamma - 1),m0 c^2
  1. A energia cinética relativística é
Para converter em MeV basta lembrar que do elétron é e do próton é . Para passar a joule usamos .

Passo 3

Vamos achar gamma = 1raiz1-0,1^2 = 1,00504 para cada gamma = 1raiz1-0,5^2 = 1,15470 :
gamma = 1raiz1-0,9^2 = 2,29416 :
gamma = 1raiz1-0,99^2 = 7,08881
gamma = 1raiz1-0,999^2 = 22,36627 :
:
:
:
Como a razão é igual a , já fechamos o item (a).

Passo 4

Agora a energia cinética do elétron, Ke = (1,00504-1)times0,511 = 0,00258,MeV approx 2,58times10^-3,MeV, , e em joule com Ke = 2,58times10^-3times1,602times10^-13approx4,13times10^-16,J :
β=0,1:
Ke = (1,15470-1)times0,511 approx0,0790,MeV l(1,27times10^-14,Jr)
ou
Ke = (2,29416-1)times0,511 approx0,6613,MeV l(1,06times10^-13,Jr)
β=0,5:
Ke = (7,08881-1)times0,511 approx3,113,MeV l(4,99times10^-13,Jr)
β=0,9:
Ke = (22,36627-1)times0,511 approx10,915,MeV l(1,75times10^-12,Jr)
β=0,99:
β=0,999:

Passo 5

Para o próton a lógica é idêntica, mas Kp = (1,00504-1)times938,27 approx4,73,MeV (7,58times10^-13,J) . O fator de Lorentz Kp approx145,2,MeV (2,33times10^-11,J) é o mesmo (depende só de Kp approx1213,2,MeV (1,94times10^-10,J) ), então
β=0,1:
Kp approx5715,MeV (9,15times10^-10,J)
β=0,5:
Kp approx20047,MeV (3,21times10^-9,J)
β=0,9:
β=0,99:
β=0,999:
Comparação rápida: pra cada β, a energia do próton é cerca de 1836 vezes maior que a do elétron, porque .

Resposta

a) Razão para o elétron (β=0,1; 0,5; 0,9; 0,99; 0,999):
1,00504; 1,15470; 2,29416; 7,08881; 22,36627.
b) Energia cinética do elétron:
β=0,1 → 2,58×10⁻³ MeV (4,13×10⁻¹⁶ J)
β=0,5 → 7,90×10⁻² MeV (1,27×10⁻¹⁴ J)
β=0,9 → 6,61×10⁻¹ MeV (1,06×10⁻¹³ J)
β=0,99 → 3,113 MeV (4,99×10⁻¹³ J)
β=0,999 → 10,915 MeV (1,75×10⁻¹² J)
c) Energia cinética do próton:
β=0,1 → 4,73 MeV (7,58×10⁻¹³ J)
β=0,5 → 145,2 MeV (2,33×10⁻¹¹ J)
β=0,9 → 1213,2 MeV (1,94×10⁻¹⁰ J)
β=0,99 → 5715 MeV (9,15×10⁻¹⁰ J)
β=0,999 → 20047 MeV (3,21×10⁻⁹ J)
Comparando: em cada caso, .

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