a) Calcule a razāo da massa relativística de um elétron para sua massa de repouso para as seguintes velocidades da partícula:
.
b) Calcule as energias cinéticas do elétron nas velocidades do item (a) em Je em MeV. c) Resolva o item anterior para um próton e faça uma comparação com as energias cinéticas do elétron.
b) Calcule as energias cinéticas do elétron nas velocidades do item (a) em Je em MeV. c) Resolva o item anterior para um próton e faça uma comparação com as energias cinéticas do elétron.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede três coisas:
a) Calcular a razão da massa relativística pela massa de repouso
de um elétron para cinco velocidades definidas pelo parâmetro
.
b) Calcular a energia cinética desse elétron, em joule (J) e em MeV, nessas mesmas velocidades.
c) Fazer tudo isso de novo para um próton e comparar com os valores do elétron.
O assunto é Relatividade Restrita: vamos usar o fator de Lorentz e a fórmula da energia cinética relativística.
a) Calcular a razão da massa relativística
b) Calcular a energia cinética desse elétron, em joule (J) e em MeV, nessas mesmas velocidades.
c) Fazer tudo isso de novo para um próton e comparar com os valores do elétron.
O assunto é Relatividade Restrita: vamos usar o fator de Lorentz
Passo 2
Primeiro, revisando a teoria de forma simples:
- O fator de Lorentz é
- A massa relativística é
. Logo a razão pedida é
- A energia cinética relativística é
Para converter em MeV basta lembrar que
do elétron é
e do próton é
. Para passar a joule usamos
.
Passo 3
Vamos achar
para cada
:
Como a razão
é igual a
, já fechamos o item (a).
Passo 4
Agora a energia cinética do elétron,
, e em joule com
:
β=0,1:
ou
β=0,5:
β=0,9:
β=0,99:
β=0,999:
Passo 5
Para o próton a lógica é idêntica, mas
. O fator de Lorentz
é o mesmo (depende só de
), então
β=0,1:
β=0,5:
β=0,9:
β=0,99:
β=0,999:
Comparação rápida: pra cada β, a energia do próton é cerca de 1836 vezes maior que a do elétron, porque
.
Resposta
a) Razão
para o elétron (β=0,1; 0,5; 0,9; 0,99; 0,999):
1,00504; 1,15470; 2,29416; 7,08881; 22,36627.
1,00504; 1,15470; 2,29416; 7,08881; 22,36627.
b) Energia cinética do elétron:
β=0,1 → 2,58×10⁻³ MeV (4,13×10⁻¹⁶ J)
β=0,5 → 7,90×10⁻² MeV (1,27×10⁻¹⁴ J)
β=0,9 → 6,61×10⁻¹ MeV (1,06×10⁻¹³ J)
β=0,99 → 3,113 MeV (4,99×10⁻¹³ J)
β=0,999 → 10,915 MeV (1,75×10⁻¹² J)
β=0,1 → 2,58×10⁻³ MeV (4,13×10⁻¹⁶ J)
β=0,5 → 7,90×10⁻² MeV (1,27×10⁻¹⁴ J)
β=0,9 → 6,61×10⁻¹ MeV (1,06×10⁻¹³ J)
β=0,99 → 3,113 MeV (4,99×10⁻¹³ J)
β=0,999 → 10,915 MeV (1,75×10⁻¹² J)
c) Energia cinética do próton:
β=0,1 → 4,73 MeV (7,58×10⁻¹³ J)
β=0,5 → 145,2 MeV (2,33×10⁻¹¹ J)
β=0,9 → 1213,2 MeV (1,94×10⁻¹⁰ J)
β=0,99 → 5715 MeV (9,15×10⁻¹⁰ J)
β=0,999 → 20047 MeV (3,21×10⁻⁹ J)
β=0,1 → 4,73 MeV (7,58×10⁻¹³ J)
β=0,5 → 145,2 MeV (2,33×10⁻¹¹ J)
β=0,9 → 1213,2 MeV (1,94×10⁻¹⁰ J)
β=0,99 → 5715 MeV (9,15×10⁻¹⁰ J)
β=0,999 → 20047 MeV (3,21×10⁻⁹ J)
Comparando: em cada caso,
.