Um múon (vida média tau=2,2 mu s e massa de repouso m=105,7 MeV / c^2 ) tem energia cinética de 50 MeV no referencial do laboratório. Calcule a energia total, o momento do múon e a distância percorrida no laboratório durante a vida média.
Resposta: p=114,3 MeV / c, l=713 m.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo e o que a gente precisa usar.
Enunciado:
– Um múon tem vida média no próprio referencial de τ₀ = 2,2 μs e massa de repouso m = 105,7 MeV/c².
– No laboratório ele tem energia cinética K = 50 MeV.
Precisamos achar:
  1. Energia total E do múon.
  2. Momento p do múon.
  3. Distância l que ele percorre no laboratório durante a sua vida média (considerando dilatação de tempo).
Conteúdo: Relatividade restrita.
Fórmulas principais:
  • E = γ m c²
  • K = (γ–1) m c² ⇒ γ = K/(m c²) + 1
  • Relação energia‐momento: E² = (p c)² + (m c²)²
  • Dilatação do tempo: τ_lab = γ τ₀
  • Velocidade: β = v/c = p c / E ⇒ v = β c
  • Distância: l = v τ_lab

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz γ e a energia total E.
  1. Primeiro γ:
γ = Km c^2 + 1 = 50;MeV105,7;MeV + 1 approx 1,473
  1. A energia total E é
E = γ,m,c^2 = 1,473 times 105,7;MeV approx 155,7;MeV

Passo 3

Calcular o momento p usando (p,c)^2 = E^2 - (m,c^2)^2 = (155,7)^2 - (105,7)^2 ;(em MeV^2) .
(155,7)^2 approx 24238, (105,7)^2 approx 11172
Fazendo as contas:
(p,c)^2 approx 24238 - 11172 = 13066 Longrightarrow p,c approx raiz13066approx 114,3;MeV
p approx 114,3;MeVc
Como p é dado em MeV/c, temos

Passo 4

Calcular a distância l percorrida no laboratório.
  1. Dilatação do tempo:
τrm lab = γ,τ0 = 1,473 times 2,2;mus approx 3,24;mus
  1. Velocidade do múon:
β = p,cE = 114,3155,7 approx 0,734 Longrightarrow v = β,c
  1. Distância percorrida:
l = v,τrm lab = β,c,τrm lab
Como c ≃ 3,0×10^8 m/s e τ_lab ≃ 3,24×10^{-6} s:
c,τrm lab approx 3,0times10^8 times 3,24times10^-6 approx 972;m,
l = 0,734 times 972;m approx 713;m

Resposta

Energia total:
E approx 155,7;MeV,
Momento:
p approx 114,3;MeVc,
Distância percorrida:
l approx 713;m

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