Calcule a resposta do sistema sabendo que: \mathrm{m}=1 \mathrm{~kg} e \mathrm{k}_{1}=2 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Tem-se que \mathrm{x}(0)=[11] e ambos são liberados a partir do repouso.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a resposta no tempo do sistema massa-molas da figura, dado que m=1\\ \mathrm{kg}, k_{1}=2\\ \mathrm{N/m} e as posições iniciais são \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Ambos são liberados a partir do repouso, logo \dot{\mathbf{x}}(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Informações dadas (resumindo):
  • massas: massa do bloco 1 = m=1\\ \mathrm{kg}; massa do bloco 2 = 4m=4\\ \mathrm{kg}.
  • constantes elásticas: mola central k=k_{1}=2\\ \mathrm{N/m}; molas externas 5k=10\\ \mathrm{N/m}.
  • condição inicial de deslocamento: \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • condição inicial de velocidade: \dot{\mathbf{x}}(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • queremos \mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix}.]

Passo 2

Escrevemos as equações de movimento no formato matricial
M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x}=0.
Matrizes M e K (usando os valores numéricos):
M=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}5k+k & -k\\[4pt]-k & 5k+k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6k & -k\\[4pt]-k & 6k\end{pmatrix}.
Como k=2,
K=\begin{pmatrix}12 & -2\\[4pt]-2 & 12\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para determinar as frequências naturais resolvemos o problema generalizado de autovalores. Definimos
A=M^{-1}K=\begin{pmatrix}12 & -2\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & 3\end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda de A satisfazem \det(A-\lambda I)=0. Calculamos:
\det\begin{pmatrix}12-\lambda & -2\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & 3-\lambda\end{pmatrix}=(12-\lambda)(3-\lambda)-1=\lambda^{2}-15\lambda+35=0.
Resolvendo a quadrática:
\lambda=\frac{15\pm\sqrt{85}}{2}.
Esses autovalores são os quadrados das pulsações naturais: \lambda=\omega^{2}.]

Passo 4

Calculamos numericamente as pulsações naturais:
\omega_{1}^{2}=\frac{15+\sqrt{85}}{2}\approx 12{,}109772,\qquad \omega_{2}^{2}=\frac{15-\sqrt{85}}{2}\approx 2{,}890228.
Portanto
\omega_{1}\approx 3{,}4800\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_{2}\approx 1{,}7001\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Encontramos os autovetores (modos) resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=0.
Para \lambda_{1}\approx 12{,}109772 a primeira equação dá
(12-\lambda_{1})v_{1}-2v_{2}=0\quad\Rightarrow\quad -0{,}109772\,v_{1}-2v_{2}=0,
logo tomamos um autovetor proporcional a \varphi^{(1)}=\begin{pmatrix}18{,}218\\[4pt]-1\end{pmatrix} (escolha de escala arbitrária).
Para \lambda_{2}\approx 2{,}890228 temos
(12-\lambda_{2})v_{1}-2v_{2}=0\quad\Rightarrow\quad 9{,}109772\,v_{1}-2v_{2}=0,
logo um autovetor é \varphi^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}219577\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Normalizamos os modos relativamente à massa (normalização modal: \psi^{(i)} tal que (\psi^{(i)})^{T}M\psi^{(i)}=1).
Para \varphi^{(1)}:
\mu_{1}=(\varphi^{(1)})^{T}M\varphi^{(1)}=(18{,}218)^{2}+4\cdot(-1)^{2}\approx 335{,}94,
\psi^{(1)}=\frac{\varphi^{(1)}}{\sqrt{\mu_{1}}}\approx\begin{pmatrix}0{,}9934\\[4pt]-0{,}05453\end{pmatrix}.
Para \varphi^{(2)}:
\mu_{2}=(\varphi^{(2)})^{T}M\varphi^{(2)}=(0{,}219577)^{2}+4\cdot1^{2}\approx 4{,}04819,
\psi^{(2)}=\frac{\varphi^{(2)}}{\sqrt{\mu_{2}}}\approx\begin{pmatrix}0{,}1091\\[4pt]0{,}4970\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculamos as coordenadas modais iniciais q_{i}(0). Para modos normalizados vale
q_{i}(0)=(\psi^{(i)})^{T}M\mathbf{x}(0).
Como \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}:
q_{1}(0)=\psi^{(1)}_{1}\cdot 1 + \psi^{(1)}_{2}\cdot 4 \approx 0{,}9934 +4(-0{,}05453)\approx 0{,}77528,
q_{2}(0)=\psi^{(2)}_{1}\cdot 1 + \psi^{(2)}_{2}\cdot 4 \approx 0{,}1091 +4(0{,}4970)\approx 2{,}0971.
As velocidades iniciais modais são zero porque \dot{\mathbf{x}}(0)=0.]

Passo 8

Em vibração livre sem amortecimento, cada coordenada modal satisfaz
\ddot{q}_{i} + \omega_{i}^{2} q_{i}=0,
com solução (como \dot{q}_{i}(0)=0)
q_{i}(t)=q_{i}(0)\cos(\omega_{i}t).

Passo 9

Reconstruímos \mathbf{x}(t) pela soma modal:
\mathbf{x}(t)=q_{1}(t)\,\psi^{(1)}+q_{2}(t)\,\psi^{(2)}.
Substituindo os números obtidos:
x_{1}(t)\approx 0{,}7706\cos(3{,}4800\,t)+0{,}2288\cos(1{,}7001\,t),
x_{2}(t)\approx -0{,}04229\cos(3{,}4800\,t)+1{,}0424\cos(1{,}7001\,t).
Checagem rápida: em t=0 as combinações dão aproximadamente x_{1}(0)=1 e x_{2}(0)=1, conforme dado inicial.

Resposta

x_{1}(t)\approx 0{,}7706\cos\bigl(3{,}4800\,t\bigr)+0{,}2288\cos\bigl(1{,}7001\,t\bigr)\n
x_{2}(t)\approx -0{,}04229\cos\bigl(3{,}4800\,t\bigr)+1{,}0424\cos\bigl(1{,}7001\,t\bigr)

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