Calcule a resposta do sistema sabendo que:
e
. Tem-se que
e ambos são liberados a partir do repouso.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a resposta no tempo do sistema massa-molas da figura, dado que
,
e as posições iniciais são
. Ambos são liberados a partir do repouso, logo
.
Informações dadas (resumindo):
- massas: massa do bloco 1 =
; massa do bloco 2 = . - constantes elásticas: mola central
; molas externas . - condição inicial de deslocamento:
. - condição inicial de velocidade:
. - queremos
.]
Passo 2
Escrevemos as equações de movimento no formato matricial
Matrizes
e
(usando os valores numéricos):
Como
,
Passo 3
Para determinar as frequências naturais resolvemos o problema generalizado de autovalores. Definimos
Os autovalores
de
satisfazem
. Calculamos:
Resolvendo a quadrática:
Esses autovalores são os quadrados das pulsações naturais:
.]
Passo 4
Calculamos numericamente as pulsações naturais:
Portanto
Passo 5
Encontramos os autovetores (modos) resolvendo
.
Para
a primeira equação dá
logo tomamos um autovetor proporcional a
(escolha de escala arbitrária).
Para
temos
logo um autovetor é
.]
Passo 6
Normalizamos os modos relativamente à massa (normalização modal:
tal que
).
Para
:
Para
:
Passo 7
Calculamos as coordenadas modais iniciais
. Para modos normalizados vale
Como
:
As velocidades iniciais modais são zero porque
.]
Passo 8
Em vibração livre sem amortecimento, cada coordenada modal satisfaz
com solução (como
)
Passo 9
Reconstruímos
pela soma modal:
Substituindo os números obtidos:
Checagem rápida: em
as combinações dão aproximadamente
e
, conforme dado inicial.