Considerando o seguinte sistema de controle com retroação unitária:
- Determine o erro de estado estacionário para uma entrada em degrau e em rampa.
Passo 1
- Dados fornecidos: a função de malha aberta está dada por
e a realimentação é unitária (diagrama em malha fechada com feedback unitário).
- O que o enunciado pede: determinar o erro em regime estacionário para
- entrada em degrau unitário (assumo degrau de amplitude
); - entrada em rampa unitária (assumo rampa de inclinação
, cuja transformada de Laplace é ).
- entrada em degrau unitário (assumo degrau de amplitude
- Observação: não inicio resolução aqui — apenas enumerei os dados e as perguntas.
Passo 2
- Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
- Em malha fechada unitária, a função erro em Laplace é
- O teorema do valor final diz que, se
tende a um limite quando , então
Explico: aplicamos a e avaliamos em para obter o valor final no tempo. - Para entradas-padrão existem constantes práticas:
- Constante de posição
Para degrau unitário , aplicando o teorema do valor final e manipulando limites, obtém-se a fórmula conhecida - Constante de velocidade
Para rampa unitária , seguindo o mesmo procedimento resulta - Intuição curta:
mede quanto o sistema responde em baixa frequência (s≈0) a uma entrada constante; mede quanto responde a uma variação contínua (rampa). Sistemas com integradores (pólos em origem) afetam esses limites.
Passo 3
- Determinar o tipo do sistema (isso ajuda a prever comportamento):
- Contamos fatores
no denominador de . Em
existe exatamente um fator no denominador (polo em origem de multiplicidade 1). Logo é um sistema do tipo 1. - Contamos fatores
- Implicação prática (intuição): sistema tipo 1 tem erro zero para degrau (posição), erro finito para rampa (velocidade), e erro infinito para entradas de maior ordem (como parábola).
Passo 4
- Calcular
e o erro para degrau: - Definição
- Avaliando
em vemos o fator no denominador que faz . Mais explicitamente,
- Portanto
e, usando a fórmula do erro em degrau unitário,
- Conclusão: erro em regime estacionário para degrau unitário é zero. (Isto confirma a propriedade tipo 1.)
Passo 5
- Calcular
e o erro para rampa:- Definição
- Multiplicando
por cancela o integrador em origem; façamos a conta passo a passo:
- Agora avaliamos em
:
- Calculemos numericamente:
e , portanto
- Assim o erro em regime estacionário para rampa unitária é
Passo 6
- Resumo rápido para fixar: por ter um integrador (tipo 1) o sistema zera o erro para degrau, e tem erro finito
para rampa. Se quiser verificar por outro caminho, pode montar e aplicar o teorema do valor final diretamente para cada ; o resultado será o mesmo.