Considerando o seguinte sistema de controle com retroação unitária:
G(s)=\frac{10(s+4)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}
  • Determine o erro de estado estacionário para uma entrada em degrau e em rampa.

Passo 1

  • Dados fornecidos: a função de malha aberta está dada por
G(s)=\frac{10(s+4)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}
e a realimentação é unitária (diagrama em malha fechada com feedback unitário).
  • O que o enunciado pede: determinar o erro em regime estacionário para
    1. entrada em degrau unitário (assumo degrau de amplitude 1);
    2. entrada em rampa unitária (assumo rampa de inclinação 1, cuja transformada de Laplace é \tfrac{1}{s^{2}}).
  • Observação: não inicio resolução aqui — apenas enumerei os dados e as perguntas.

Passo 2

  • Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
    • Em malha fechada unitária, a função erro em Laplace é
    E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
    • O teorema do valor final diz que, se e(t) tende a um limite quando t\to\infty, então
    e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).Explico: aplicamos s a E(s) e avaliamos em s\to 0 para obter o valor final no tempo.
    • Para entradas-padrão existem constantes práticas:
      • Constante de posição
      K_{p}=\lim_{s\to 0}G(s).Para degrau unitário R(s)=\tfrac{1}{s}, aplicando o teorema do valor final e manipulando limites, obtém-se a fórmula conhecida e_{ss,\text{degrau}}=\frac{1}{1+K_{p}}.
      • Constante de velocidade
      K_{v}=\lim_{s\to 0} s\,G(s).Para rampa unitária R(s)=\tfrac{1}{s^{2}}, seguindo o mesmo procedimento resulta e_{ss,\text{rampa}}=\frac{1}{K_{v}}.
    • Intuição curta: K_{p} mede quanto o sistema responde em baixa frequência (s≈0) a uma entrada constante; K_{v} mede quanto responde a uma variação contínua (rampa). Sistemas com integradores (pólos em origem) afetam esses limites.

Passo 3

  • Determinar o tipo do sistema (isso ajuda a prever comportamento):
    • Contamos fatores s no denominador de G(s). Em
    G(s)=\frac{10(s+4)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}existe exatamente um fator s no denominador (polo em origem de multiplicidade 1). Logo é um sistema do tipo 1.
  • Implicação prática (intuição): sistema tipo 1 tem erro zero para degrau (posição), erro finito para rampa (velocidade), e erro infinito para entradas de maior ordem (como parábola).

Passo 4

  • Calcular K_{p} e o erro para degrau:
    • Definição
    K_{p}=\lim_{s\to 0}G(s).
    • Avaliando G(s) em s\to 0 vemos o fator s no denominador que faz G(s)\to\infty. Mais explicitamente,
    G(s)=\frac{10(s+4)}{s(\cdots)}\xrightarrow{s\to 0}\frac{10\cdot 4}{0\cdot(1\cdot 2\cdot 5)}=\infty.
    • Portanto K_{p}=\infty e, usando a fórmula do erro em degrau unitário,
    e_{ss,\text{degrau}}=\frac{1}{1+K_{p}}=\frac{1}{1+\infty}=0.
    • Conclusão: erro em regime estacionário para degrau unitário é zero. (Isto confirma a propriedade tipo 1.)

Passo 5

  • Calcular K_{v} e o erro para rampa:
    • Definição
    K_{v}=\lim_{s\to 0} s\,G(s).
    • Multiplicando G(s) por s cancela o integrador em origem; façamos a conta passo a passo:
    s\,G(s)=s\cdot\frac{10(s+4)}{s(s+1)(s+2)(s+5)}=\frac{10(s+4)}{(s+1)(s+2)(s+5)}.
    • Agora avaliamos em s=0:
    K_{v}=\left.\frac{10(s+4)}{(s+1)(s+2)(s+5)}\right|_{s=0}=\frac{10\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 5}.
    • Calculemos numericamente: 10\cdot 4=40 e 1\cdot 2\cdot 5=10, portanto
    K_{v}=\frac{40}{10}=4.
    • Assim o erro em regime estacionário para rampa unitária é
    e_{ss,\text{rampa}}=\frac{1}{K_{v}}=\frac{1}{4}=0{,}25.

Passo 6

  • Resumo rápido para fixar: por ter um integrador (tipo 1) o sistema zera o erro para degrau, e tem erro finito 1/4 para rampa. Se quiser verificar por outro caminho, pode montar E(s)=\dfrac{R(s)}{1+G(s)} e aplicar o teorema do valor final diretamente para cada R(s); o resultado será o mesmo.

Resposta

e_{ss,\text{degrau}}=0
e_{ss,\text{rampa}}=\tfrac{1}{4}

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