No sistema abaixo,
e
. Determine os autovalores e autovetores do sistema.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os autovalores e autovetores do sistema.” Dados fornecidos (retirados da figura e do enunciado):
- A constante elástica é
. - A massa básica é
. - Na figura o bloco da esquerda tem massa
e o da direita tem massa . Portanto as massas numéricas são e . - As molas ligadas: entre parede e massa 1 há mola de rigidez
; entre as massas, mola de rigidez ; entre massa 2 e parede, mola de rigidez . - As incógnitas são os autovalores (valores próprios) associados às frequências naturais
(ou ) e os autovetores (modos próprios) associados aos deslocamentos .
Passo 2
Modelagem e montagem das matrizes massa e rigidez. Explicando passo a passo:
- Para sistemas de vibração linear sem amortecimento, as equações de movimento no referencial de pequenas oscilações ficam na forma matricial
onde
,
é a matriz de massa (diagonal aqui) e
a matriz de rigidez.
- Construção da matriz
: para cada grau de liberdade, a entrada diagonal é a soma das rigidezes das molas ligadas ao nó ; a entrada fora-da-diagonal é rigidez da mola que liga i e j (se existir). - Para o nó 1: ligado à parede por
e ao nó 2 por → . - Para o nó 2: ligado ao nó 1 por
e à parede por → . - Entre 1 e 2:
.
- Para o nó 1: ligado à parede por
- Montando numericamente (usando
):
- Matriz de massas (diagonal com
e ):
Passo 3
Formular o problema de autovalores e montar o polinômio característico.
- Procuramos soluções do tipo
. Substituindo na equação obtém-se o problema generalizado
- Denotando
, o determinante característico é
- Compute
:
- Determinante:
- Dividindo por
para simplificar:
- Resolva a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
- Calcule o discriminante exatamente:
- Portanto os autovalores (exatos) são
- Estas são as
. As frequências naturais em rad/s são . Valores numéricos:
Passo 4
Cálculo dos autovetores associados. Método e didática:
- Para cada
resolvemos . Tome . A primeira equação dá
- Substituímos as
exatas para obter autovetores exatos proporcionais (não precisamos normalizar para ser autovetor válido).
Para
:
- Calcule
. Logo
- Então
- Tomando a convenção
obtemos um autovetor proporcional a
Valor numérico aproximado:
Para
:
- Calcule
. Logo
- Então
- Tomando
obtemos
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Interpretação rápida e encorajamento (rápida): os autovalores
dão as frequências naturais do sistema; os autovetores mostram a forma relativa dos deslocamentos nos modos. O modo com
tem os sinais opostos e grande amplitude relativa no segundo grau de liberdade (modo mais rápido), enquanto o modo com
tem os dois graus de liberdade praticamente em fase com amplitudes comparáveis (modo mais lento). Está indo bem — com esses passos você resolve qualquer par de massas e molas semelhantes!
Resposta
Autovetores (proporcionais):
.]