No sistema abaixo, \mathrm{m}=5 \mathrm{~kg} e \mathrm{k}=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine os autovalores e autovetores do sistema.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os autovalores e autovetores do sistema.” Dados fornecidos (retirados da figura e do enunciado):
  • A constante elástica é \;k=100\;\mathrm{N/m}.
  • A massa básica é \;m=5\;\mathrm{kg}.
  • Na figura o bloco da esquerda tem massa 3m e o da direita tem massa m. Portanto as massas numéricas são \;m_1=3m=15\;\mathrm{kg} e \;m_2=m=5\;\mathrm{kg}.
  • As molas ligadas: entre parede e massa 1 há mola de rigidez k; entre as massas, mola de rigidez k; entre massa 2 e parede, mola de rigidez 3k.
  • As incógnitas são os autovalores (valores próprios) associados às frequências naturais \omega (ou \omega^2) e os autovetores (modos próprios) associados aos deslocamentos (x_1,x_2).

Passo 2

Modelagem e montagem das matrizes massa e rigidez. Explicando passo a passo:
  • Para sistemas de vibração linear sem amortecimento, as equações de movimento no referencial de pequenas oscilações ficam na forma matricial
M\ddot{\mathbf{x}} + K\mathbf{x}=0,
onde \mathbf{x}=(x_1,x_2)^T, M é a matriz de massa (diagonal aqui) e K a matriz de rigidez.
  • Construção da matriz K: para cada grau de liberdade, a entrada diagonal K_{ii} é a soma das rigidezes das molas ligadas ao nó i; a entrada fora-da-diagonal K_{ij} é -rigidez da mola que liga i e j (se existir).
    • Para o nó 1: ligado à parede por k e ao nó 2 por k K_{11}=k+k=2k.
    • Para o nó 2: ligado ao nó 1 por k e à parede por 3k K_{22}=k+3k=4k.
    • Entre 1 e 2: K_{12}=K_{21}=-k.
  • Montando numericamente (usando k=100\;\mathrm{N/m}):
K=\begin{pmatrix}2k & -k \\[4pt] -k & 4k\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}200 & -100 \\[4pt] -100 & 400\end{pmatrix}.
  • Matriz de massas (diagonal com m_1=15 e m_2=5):
M=\begin{pmatrix}15 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Formular o problema de autovalores e montar o polinômio característico.
  • Procuramos soluções do tipo \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{i\omega t}. Substituindo na equação obtém-se o problema generalizado
K\mathbf{v}=\omega^2 M\mathbf{v}.
  • Denotando \lambda=\omega^2, o determinante característico é
\det(K-\lambda M)=0.
  • Compute K-\lambda M:
K-\lambda M=\begin{pmatrix}200-15\lambda & -100 \\[4pt] -100 & 400-5\lambda\end{pmatrix}.
  • Determinante:
\begin{aligned} \det(K-\lambda M)&=(200-15\lambda)(400-5\lambda)-(-100)(-100)\\[4pt] &=80000-7000\lambda+75\lambda^2-10000\\[4pt] &=75\lambda^2-7000\lambda+70000. \end{aligned}
  • Dividindo por 5 para simplificar:
15\lambda^2-1400\lambda+14000=0.
  • Resolva a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{1400\pm\sqrt{1400^2-4\cdot15\cdot14000}}{2\cdot15}.
  • Calcule o discriminante exatamente:
1400^2-4\cdot15\cdot14000=1960000-840000=1120000=(400\sqrt{7})^2.
  • Portanto os autovalores (exatos) são
\lambda_{1,2}=\frac{1400\pm 400\sqrt{7}}{30}=\frac{140\pm 40\sqrt{7}}{3}.
  • Estas são as \omega^2. As frequências naturais em rad/s são \omega_{1,2}=\sqrt{\lambda_{1,2}}. Valores numéricos:
\lambda_1=\frac{140+40\sqrt{7}}{3}\approx 81{,}9433,\qquad \omega_1\approx 9{,}053\\ \text{rad/s},
\lambda_2=\frac{140-40\sqrt{7}}{3}\approx 11{,}3890,\qquad \omega_2\approx 3{,}376\\ \text{rad/s}.]

Passo 4

Cálculo dos autovetores associados. Método e didática:
  • Para cada \lambda resolvemos (K-\lambda M)\mathbf{v}=0. Tome \mathbf{v}=(v_1,v_2)^T. A primeira equação dá
(200-15\lambda)v_1-100 v_2=0\quad\Longrightarrow\quad v_2=\frac{200-15\lambda}{100}\,v_1.
  • Substituímos as \lambda exatas para obter autovetores exatos proporcionais (não precisamos normalizar para ser autovetor válido).
Para \lambda_1=\dfrac{140+40\sqrt{7}}{3}:
  • Calcule 15\lambda_1=700+200\sqrt{7}. Logo
200-15\lambda_1=200-(700+200\sqrt{7})=-500-200\sqrt{7}.
  • Então
v_2=\frac{-500-200\sqrt{7}}{100}v_1=(-5-2\sqrt{7})v_1.
  • Tomando a convenção v_1=1 obtemos um autovetor proporcional a
\mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5-2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Valor numérico aproximado:
\mathbf{v}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]-10{,}2915\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=\dfrac{140-40\sqrt{7}}{3}:
  • Calcule 15\lambda_2=700-200\sqrt{7}. Logo
200-15\lambda_2=200-(700-200\sqrt{7})=-500+200\sqrt{7}.
  • Então
v_2=\frac{-500+200\sqrt{7}}{100}v_1=(-5+2\sqrt{7})v_1.
  • Tomando v_1=1 obtemos
\mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5+2\sqrt{7}\end{pmatrix}.
Valor numérico aproximado:
\mathbf{v}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}2915\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento (rápida): os autovalores \lambda=\omega^2 dão as frequências naturais do sistema; os autovetores mostram a forma relativa dos deslocamentos nos modos. O modo com \omega_1 tem os sinais opostos e grande amplitude relativa no segundo grau de liberdade (modo mais rápido), enquanto o modo com \omega_2 tem os dois graus de liberdade praticamente em fase com amplitudes comparáveis (modo mais lento). Está indo bem — com esses passos você resolve qualquer par de massas e molas semelhantes!

Resposta

\displaystyle \omega^2_{1,2}=\frac{140\pm 40\sqrt{7}}{3} (em \mathrm{s^{-2}}), ou numericamente \omega^2_1\approx81{,}9433,\\ \omega^2_2\approx11{,}3890.\n
\displaystyle \omega_1\approx9{,}053\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_2\approx3{,}376\\ \mathrm{rad/s}.\n
Autovetores (proporcionais): \displaystyle \mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5-2\sqrt{7}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]-10{,}2915\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5+2\sqrt{7}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}2915\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados