Calcule a solução do sistema de n-GDL usando análise modal sabendo que n=3. Use os seguintes valores m_{1}=m_{2}=m_{3}=4 \mathrm{~kg} e k_{1}=k_{2}=k_{3}=4 N / m. Assuma x_{1}(0)=1 m com todas as outras condições iniciais de deslocamento e velocidades nulas.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos\n
  • Pedido: encontrar a solução do sistema modal para as coordenadas x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) quando n=3 e dadas as massas, rigidezes e condições iniciais.\n
  • Dados fornecidos:
m_{1}=m_{2}=m_{3}=4\\ \text{kg},
k_{1}=k_{2}=k_{3}=4\\ \text{N/m},
condições iniciais:
x_{1}(0)=1\\ \text{m},\quad x_{2}(0)=0,\quad x_{3}(0)=0,
e todas as velocidades iniciais nulas:
\dot x_{1}(0)=\dot x_{2}(0)=\dot x_{3}(0)=0.

Passo 2

Montagem das matrizes de massa e rigidez (passo essencial)\n
  • A matriz de massa é diagonal, pois massas são independentes:
M = \begin{pmatrix} m_{1} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & m_{2} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & m_{3} \end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
  • A matriz de rigidez para o arranjo (mola na parede à esquerda ligada a m_{1}, depois k_{2} entre m_{1} e m_{2}, e k_{3} entre m_{2} e m_{3}) tem a forma
K=\begin{pmatrix} k_{1}+k_{2} & -k_{2} & 0\\[4pt] -k_{2} & k_{2}+k_{3} & -k_{3}\\[4pt] 0 & -k_{3} & k_{3} \end{pmatrix}.
Substituindo k_{i}=4:
K=4\begin{pmatrix}2&-1&0\\[4pt]-1&2&-1\\[4pt]0&-1&1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Problema eigen (análise modal) e simplificação usando M\n
  • Modos livres satisfazem K\boldsymbol{\varphi}=\omega^{2}M\boldsymbol{\varphi}. Como M=4I, podemos simplificar:
M^{-1}K=\frac{1}{4}K=\begin{pmatrix}2&-1&0\\[4pt]-1&2&-1\\[4pt]0&-1&1\end{pmatrix} \equiv A.
  • Então resolvemos A\boldsymbol{\varphi}=\lambda\boldsymbol{\varphi} com \lambda=\omega^{2}.]

Passo 4

Cálculo dos autovalores (passo algébrico) — determinante e polinômio característico\n
  • Calculamos \det(A-\lambda I). Fazendo o desenvolvimento (mostrar os passos):
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 & 0\\[4pt]-1 & 2-\lambda & -1\\[4pt]0 & -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)\big[(2-\lambda)(1-\lambda)-1\big]-(1-\lambda).
  • Desenvolvendo e simplificando obtemos o polinômio
\lambda^{3}-5\lambda^{2}+6\lambda-1=0.
  • Resolvendo numericamente esse cúbico (método numérico/bisseção/Newton) obtemos as três raízes reais positivas (os autovalores \lambda=\omega^{2}):
\lambda_{1}\approx0{,}198062,\qquad \lambda_{2}\approx1{,}555834,\qquad \lambda_{3}\approx3{,}246104.
  • Portanto as frequências naturais são
\omega_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}\approx0{,}44506\\ \text{rad/s},
\omega_{2}=\sqrt{\lambda_{2}}\approx1{,}24733\\ \text{rad/s},
\omega_{3}=\sqrt{\lambda_{3}}\approx1{,}80281\\ \text{rad/s}.]

Passo 5

Cálculo dos autovetores (modos) — solução da geometria dos modos\n
Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)\boldsymbol{\varphi}=0. A equação triangular dá relações simples:
\phi_{2}=(2-\lambda)\phi_{1},\qquad \phi_{3}=\frac{\phi_{2}}{1-\lambda}=\frac{2-\lambda}{1-\lambda}\phi_{1}.
Tomamos a convenção prática \phi_{1}=1 (modo escalado) e obtemos numericamente:
  • Para \lambda_{1}\approx0{,}198062:
\boldsymbol{\varphi}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}801938\\[4pt]2{,}246980\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_{2}\approx1{,}555834:
\boldsymbol{\varphi}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}444166\\[4pt]-0{,}800000\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_{3}\approx3{,}246104:
\boldsymbol{\varphi}^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1{,}246104\\[4pt]0{,}554958\end{pmatrix}.
(Dica: esses vetores são autovetores não-normalizados; a normalização em massa pode ser feita, mas não é necessária para obter a resposta modal se usarmos a fórmula das amplitudes generalizadas entre \varphi, M e x(0).)]

Passo 6

Cálculo das amplitudes modais iniciais q_{i}(0)\n
  • A coordenada modal generalizada inicial é
q_{i}(0)=\frac{\boldsymbol{\varphi}^{(i)T}M\mathbf{x}(0)}{\boldsymbol{\varphi}^{(i)T}M\boldsymbol{\varphi}^{(i)}}.
  • Aqui M=4I e \mathbf{x}(0)=(1,0,0)^{T}. Assim o numerador é 4\varphi^{(i)}_{1}=4\cdot1, e o denominador é 4\sum_{j=1}^{3}(\varphi^{(i)}_{j})^{2}. Cancelando o 4 obtemos
q_{i}(0)=\frac{1}{\sum_{j=1}^{3}(\varphi^{(i)}_{j})^{2}}.
  • Calculando as somas de quadrados e invertendo:
q_{1}(0)\approx0{,}10757,\qquad q_{2}(0)\approx0{,}54430,\qquad q_{3}(0)\approx0{,}34958.

Passo 7

Resposta modal no tempo (cada grau de liberdade modal)\n
  • Como não há amortecimento nem força externa e as velocidades iniciais são zero, a equação modal é \ddot q_{i}+\omega_{i}^{2}q_{i}=0 com solução
q_{i}(t)=q_{i}(0)\cos(\omega_{i}t).

Passo 8

Reconstrução das coordenadas físicas x(t) (soma modal) e simplificação numérica\n
  • A reconstrução é
\mathbf{x}(t)=\sum_{i=1}^{3}\boldsymbol{\varphi}^{(i)}\,q_{i}(t).
  • Escrevendo componente a componente e substituindo os valores numéricos (coeficientes calculados explicitamente), obtemos as expressões aproximadas
x_{1}(t)\approx0{,}10757\cos(0{,}44506\,t)+0{,}54430\cos(1{,}24733\,t)+0{,}34958\cos(1{,}80281\,t),
x_{2}(t)\approx0{,}19395\cos(0{,}44506\,t)+0{,}24161\cos(1{,}24733\,t)-0{,}43556\cos(1{,}80281\,t),
x_{3}(t)\approx0{,}24159\cos(0{,}44506\,t)-0{,}43544\cos(1{,}24733\,t)+0{,}19385\cos(1{,}80281\,t).
  • Observação rápida de verificação: em t=0 as somas das amplitudes em x_{1} dão aproximadamente 1 e em x_{2},x_{3} dão aproximadamente 0, compatível com as condições iniciais (cheque rápido que 0{,}10757+0{,}54430+0{,}34958\approx1{,}000).

Resposta

x_{1}(t)\approx0{,}10757\cos(0{,}44506\,t)+0{,}54430\cos(1{,}24733\,t)+0{,}34958\cos(1{,}80281\,t)
x_{2}(t)\approx0{,}19395\cos(0{,}44506\,t)+0{,}24161\cos(1{,}24733\,t)-0{,}43556\cos(1{,}80281\,t)
x_{3}(t)\approx0{,}24159\cos(0{,}44506\,t)-0{,}43544\cos(1{,}24733\,t)+0{,}19385\cos(1{,}80281\,t)

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