Calcule a solução do sistema de n-GDL usando análise modal sabendo que n=3. Use os seguintes valores m_{1}=m_{2}=m_{3}=4 \mathrm{~kg} e k_{1}=k_{2}=k_{3}=4 N / m. Assuma x_{1}(0)=1 m com todas as outras condições iniciais de deslocamento e velocidades nulas.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos\n
Pedido: encontrar a solução do sistema modal para as coordenadas x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) quando n=3 e dadas as massas, rigidezes e condições iniciais.\n
A matriz de rigidez para o arranjo (mola na parede à esquerda ligada a m_{1}, depois k_{2} entre m_{1} e m_{2}, e k_{3} entre m_{2} e m_{3}) tem a forma
Cálculo dos autovetores (modos) — solução da geometria dos modos\n
Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)\boldsymbol{\varphi}=0. A equação triangular dá relações simples:
(Dica: esses vetores são autovetores não-normalizados; a normalização em massa pode ser feita, mas não é necessária para obter a resposta modal se usarmos a fórmula das amplitudes generalizadas entre \varphi, M e x(0).)]
Aqui M=4I e \mathbf{x}(0)=(1,0,0)^{T}. Assim o numerador é 4\varphi^{(i)}_{1}=4\cdot1, e o denominador é 4\sum_{j=1}^{3}(\varphi^{(i)}_{j})^{2}. Cancelando o 4 obtemos
Observação rápida de verificação: em t=0 as somas das amplitudes em x_{1} dão aproximadamente 1 e em x_{2},x_{3} dão aproximadamente 0, compatível com as condições iniciais (cheque rápido que 0{,}10757+0{,}54430+0{,}34958\approx1{,}000).