Calcule rot F em cada um dos ítens abaixo.
(a) F(x, y, z)=-y i+x j+z k.

Passo 1

O enunciado pede o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z)= -y,vec i + x,vec j + z,vec k. O conteúdo é cálculo de rotacional (curl) e vamos usar a definição de nablatimesvec F com derivadas parciais.

Passo 2

A definição do rotacional em coordenadas cartesianas pode ser escrita como determinante:
rot,vec F = nabla times vec F = vec i & vec j & vec k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Fx & Fy & Fz
Ou, componente a componente:
(rot,vec F)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z, (rot,vec F)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, (rot,vec F)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y

Passo 3

Identificamos as componentes do campo: Fx = -y, Fy = x e Fz = z.

Passo 4

Agora calculamos cada componente do rotacional:
  • (rot,vec F)x = tfracpartial Fzpartial y - tfracpartial Fypartial z = 0 - 0 = 0.
  • (rot,vec F)y = tfracpartial Fxpartial z - tfracpartial Fzpartial x = 0 - 0 = 0.
  • (rot,vec F)z = tfracpartial Fypartial x - tfracpartial Fxpartial y = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Portanto, o rotacional é o vetor cujas componentes são 0,0,2.

Resposta

2,vec k

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