Passo 1
Nesse exercício temos um sistema linear de EDOs de coeficientes constantes, dado por
e
. O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores. Vamos precisar escrever o sistema em forma matricial, encontrar os autovalores de
, achar um autovetor, e montar a solução real geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma
, onde
e
Para resolver, lembramos que procuramos soluções do tipo
, o que leva à equação característica.
Passo 3
O polinômio característico de
é dado por
. Calculamos:
As raízes são
Passo 4
Para
, resolvemos
. Isto dá o sistema
então escolhemos
e obtemos
. O autovetor complexo é
. Separamos em parte real
e imaginária
.
Passo 5
A solução real geral é combinações lineares das soluções fundamentais reais:
Portanto, em componentes, temos
Passo 6
final_answer":"A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias."}