d xd t=5 x+y
d yd t=-2 x+3 y

Passo 1

Nesse exercício temos um sistema linear de EDOs de coeficientes constantes, dado por dxdt=5x+y e dydt=-2x+3y. O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando autovalores e autovetores. Vamos precisar escrever o sistema em forma matricial, encontrar os autovalores de A, achar um autovetor, e montar a solução real geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma X' = AX, onde X=(x,y)^T e
A=5 & 1 -2 & 3
Para resolver, lembramos que procuramos soluções do tipo X(t)=e^lambda tv, o que leva à equação característica.

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por det(A-lambda I)=0. Calculamos:
detl(5-lambda & 1 -2 & 3-lambdar)=(5-lambda)(3-lambda)+2=lambda^2-8lambda+17=0
As raízes são
lambda=8pmraiz(-8)^2-4cdot1cdot172=4pm i

Passo 4

Para lambda=4+i, resolvemos (A-(4+i)I)v=0. Isto dá o sistema
(1-i)u+v=0,
então escolhemos u=1 e obtemos v=-(1-i)=[-1+i]. O autovetor complexo é v=[1,,-1+i]^T. Separamos em parte real A=[1,-1]^T e imaginária B=[0,1]^T.

Passo 5

A solução real geral é combinações lineares das soluções fundamentais reais:
X1(t)=e^4t(Acos t-Bsin t),
X2(t)=e^4t(Asin t+Bcos t)
Portanto, em componentes, temos

Passo 6

final_answer":"A solução geral do sistema é:
x(t)=e^4tl(C1cos t+C2sin tr),
y(t)=e^4tl(-C1(cos t+sin t)+C2(cos t-sin t)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias."}

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