Calcule o rotacional dos seguintes campos
\vec{F}(x, y)=\left(x y,-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial \vec{F}(x,y)=\left(xy,\,-x^{2}\right).
Informações dadas:
  • A componente x do campo é P(x,y)=xy.
  • A componente y do campo é Q(x,y)=-x^{2}.
    A tarefa é encontrar o rotacional desse campo em função de x e y.

Passo 2

O que é o rotacional aqui e como vamos calcular (explicação didática).
Para um campo plano \vec{F}(x,y)=(P,Q) costuma-se definir o rotacional (o componente z do curl em 3D) pela fórmula
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Significado dos termos:
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x: faz-se a variação de Q quando x muda e y fica fixo.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y: faz-se a variação de P quando y muda e x fica fixo.
Breve lembrete sobre derivada parcial (jeito prático): se f(x,y) é, por exemplo, xy, então \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x porque trata-se de x multiplicando y (e x é visto como constante ao derivar em relação a y). Se g(x,y)=-x^{2}, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2})=-2x (derivada usual de potência), e g não depende de y então \dfrac{\partial g}{\partial y}=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas, mostrando cada passo.
Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} com Q(x,y)=-x^{2}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}\bigr)=-2x.
Explicação: trata-se da derivada usual de -x^{2} em relação a x.
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=xy:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr)=x.
Explicação: ao derivar xy em relação a y, x é constante, então o resultado é x.

Passo 4

Aplicar a fórmula do rotacional substituindo as derivadas que calculamos:
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(-2x)-x=-3x.
Então o rotacional, visto como função escalar (componente na direção z), é -3x.

Passo 5

Observação sobre representação vetorial: se quisermos dar o curl no formato vetorial 3D (embutindo o campo 2D como \vec{F}=(P,Q,0)), o rotacional fica na direção k:
\nabla\times\vec{F}=(0,0,-3x).
Isso é equivalente à forma escalar \operatorname{rot}\vec{F}=-3x, apenas mostrando o componente z.

Resposta

\operatorname{rot}\vec{F}(x,y)=-3x
\nabla\times\vec{F}(x,y)=(0,0,-3x)

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