Calcule o rotacional dos seguintes campos
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A componente
do campo é . - A componente
do campo é .
A tarefa é encontrar o rotacional desse campo em função dee .
Passo 2
O que é o rotacional aqui e como vamos calcular (explicação didática).
Para um campo plano costuma-se definir o rotacional (o componente
do curl em 3D) pela fórmula
Para um campo plano
Significado dos termos:
-
é a derivada parcial de em relação a : faz-se a variação de quando muda e fica fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : faz-se a variação de quando muda e fica fixo.
Breve lembrete sobre derivada parcial (jeito prático): se
é, por exemplo,
, então
porque trata-se de
multiplicando
(e
é visto como constante ao derivar em relação a
). Se
, então
(derivada usual de potência), e
não depende de
então
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas, mostrando cada passo.
Calcular
com
:
Explicação: trata-se da derivada usual de
em relação a
.
Calcular
com
:
Explicação: ao derivar
em relação a
,
é constante, então o resultado é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do rotacional substituindo as derivadas que calculamos:
Então o rotacional, visto como função escalar (componente na direção
), é
.
Passo 5
Observação sobre representação vetorial: se quisermos dar o curl no formato vetorial 3D (embutindo o campo 2D como
), o rotacional fica na direção
:
Isso é equivalente à forma escalar
, apenas mostrando o componente
.