Calcule o divergente dos campo vetoriais a seguir
\vec{F}(x, y, z)=\left(\operatorname{cosh} (x y), e^{x+z^{2}}, \ln x \operatorname{sinh} z\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(\operatorname{cosh}(xy),\; e^{x+z^{2}},\; \ln x\:\operatorname{sinh} z\bigr).
A pergunta é: calcular o divergente desse campo, isto é, encontrar
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Informações relevantes dadas:
  • F_1(x,y,z)=\operatorname{cosh}(xy).
  • F_2(x,y,z)=e^{x+z^{2}}.
  • F_3(x,y,z)=\ln x\:\operatorname{sinh} z.
  • Observação de domínio: a presença de \ln x exige x>0 para o campo (e, portanto, para o divergente) estar bem definido.

Passo 2

O que é o divergente e como vamos calculá-lo (regra prática).
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis correspondentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Para calcular cada termo usamos derivada parcial: trata-se de derivar a componente em relação àquela variável mantendo as outras fixas.
  • Relembrando a regra da cadeia (que vamos usar): se h(t)=f(g(t)), então
\frac{dh}{dt}=f'(g(t))\cdot g'(t).
No caso de funções compostas em várias variáveis, a ideia é a mesma quando a variável de derivação aparece dentro de uma composição.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial F_1}{\partial x} para F_1(x,y,z)=\operatorname{cosh}(xy).
  • Aqui a variável x aparece dentro de \operatorname{cosh}(\cdot) através do produto xy.
  • Aplicando a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{cosh}(u) em relação a u é \operatorname{sinh}(u), e a derivada de u=xy em relação a x é y.
  • Portanto,
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{cosh}(xy)=\operatorname{sinh}(xy)\cdot y.
  • Escrevendo de forma limpa:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=y\,\operatorname{sinh}(xy).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial F_2}{\partial y} para F_2(x,y,z)=e^{x+z^{2}}.
  • Observe que F_2 depende de x e de z, mas não depende de y. Quando uma função não depende de uma variável, sua derivada parcial em relação a essa variável é zero.
  • Logo,
\frac{\partial F_2}{\partial y}=0.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial F_3}{\partial z} para F_3(x,y,z)=\ln x\:\operatorname{sinh} z.
  • Aqui \ln x é uma constante em relação a z (pois x é tratado como fixo na derivada parcial em z).
  • A derivada de \operatorname{sinh} z em relação a z é \operatorname{cosh} z.
  • Portanto, aplicando a regra do produto com uma constante multiplicativa,
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\ln x\cdot\frac{d}{dz}\operatorname{sinh} z=\ln x\;\operatorname{cosh} z.

Passo 6

Somar as três derivadas parciais para obter o divergente.
  • Reunindo os resultados:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=y\,\operatorname{sinh}(xy),\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=\ln x\;\operatorname{cosh} z.
  • Assim
\nabla\cdot\vec{F}=y\,\operatorname{sinh}(xy)+0+\ln x\;\operatorname{cosh} z.
  • Observação de domínio: esta expressão é válida para x>0 (por causa de \ln x); y e z podem ser quaisquer números reais.

Resposta

\nabla\cdot\vec{F}=y\,\operatorname{sinh}(xy)+\ln x\;\operatorname{cosh} z

Exercícios relacionados