Calcule o divergente dos campo vetoriais a seguir
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
A pergunta é: calcular o divergente desse campo, isto é, encontrar
Informações relevantes dadas:
-
. -
. -
. - Observação de domínio: a presença de
exige para o campo (e, portanto, para o divergente) estar bem definido.
Passo 2
O que é o divergente e como vamos calculá-lo (regra prática).
- O divergente de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis correspondentes:
- Para calcular cada termo usamos derivada parcial: trata-se de derivar a componente em relação àquela variável mantendo as outras fixas.
- Relembrando a regra da cadeia (que vamos usar): se
, então
No caso de funções compostas em várias variáveis, a ideia é a mesma quando a variável de derivação aparece dentro de uma composição.
Passo 3
Calcular
para
.
- Aqui a variável
aparece dentro de através do produto . - Aplicando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a é , e a derivada de em relação a é . - Portanto,
- Escrevendo de forma limpa:
Passo 4
Calcular
para
.
- Observe que
depende de e de , mas não depende de . Quando uma função não depende de uma variável, sua derivada parcial em relação a essa variável é zero. - Logo,
Passo 5
Calcular
para
.
- Aqui
é uma constante em relação a (pois é tratado como fixo na derivada parcial em ). - A derivada de
em relação a é . - Portanto, aplicando a regra do produto com uma constante multiplicativa,
Passo 6
Somar as três derivadas parciais para obter o divergente.
- Reunindo os resultados:
- Assim
- Observação de domínio: esta expressão é válida para
(por causa de ); e podem ser quaisquer números reais.