Calcule x e y, sabendo que \left(\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 5 & 2\end{array}\right) e \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -5 & y\end{array}\right) são matrizes inversas.
R.: x=1 e y=3
Passo 1
O enunciado pede para determinar x e y sabendo que as matrizes
são inversas. Informações dadas: os elementos das duas matrizes estão acima, e a pergunta é encontrar os valores de x e y.]
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar): duas matrizes quadradas A e B são inversas se, ao multiplicá‑las, obtemos a matriz identidade. Para matrizes 2\times2 a identidade é
(é suficiente usar uma das multiplicações A B ou B A porque a inversa é única; aqui vamos usar A B).]
Passo 3
Vou calcular A\cdot B pelo procedimento padrão de multiplicação de matrizes: cada entrada (i,j) do produto é o produto escalar (dot product) da linha i de A pela coluna j de B. Então
A\cdot B = \begin{pmatrix}3 & x \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -5 & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 + x\cdot(-5) & 3\cdot(-1) + x\cdot y \\[6pt] 5\cdot 2 + 2\cdot(-5) & 5\cdot(-1) + 2\cdot y \end{pmatrix}.]