Calcule x e y, sabendo que \left(\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 5 & 2\end{array}\right) e \left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ -5 & y\end{array}\right) são matrizes inversas.
R.: x=1 e y=3

Passo 1

O enunciado pede para determinar x e y sabendo que as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & x \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -5 & y\end{pmatrix}
são inversas. Informações dadas: os elementos das duas matrizes estão acima, e a pergunta é encontrar os valores de x e y.]

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar): duas matrizes quadradas A e B são inversas se, ao multiplicá‑las, obtemos a matriz identidade. Para matrizes 2\times2 a identidade é
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isto é, devemos ter
A\cdot B = I_2
(é suficiente usar uma das multiplicações A B ou B A porque a inversa é única; aqui vamos usar A B).]

Passo 3

Vou calcular A\cdot B pelo procedimento padrão de multiplicação de matrizes: cada entrada (i,j) do produto é o produto escalar (dot product) da linha i de A pela coluna j de B. Então
A\cdot B = \begin{pmatrix}3 & x \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -5 & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 + x\cdot(-5) & 3\cdot(-1) + x\cdot y \\[6pt] 5\cdot 2 + 2\cdot(-5) & 5\cdot(-1) + 2\cdot y \end{pmatrix}.]

Passo 4

Simplifico cada entrada obtida:
  • Entrada (1,1): 3\cdot 2 + x\cdot(-5) = 6 - 5x.
  • Entrada (1,2): 3\cdot(-1) + x\cdot y = -3 + x y.
  • Entrada (2,1): 5\cdot 2 + 2\cdot(-5) = 10 - 10 = 0.
  • Entrada (2,2): 5\cdot(-1) + 2\cdot y = -5 + 2y.
Portanto
A\cdot B = \begin{pmatrix}6-5x & -3 + xy \\[4pt] 0 & -5 + 2y\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como A\cdot B deve ser igual a I_2, equiparamos as entradas correspondentes:
  • Da posição (1,1): 6 - 5x = 1.
Resolvo isso passo a passo:
6 - 5x = 1 \implies -5x = 1 - 6 = -5 \implies x = \frac{-5}{-5} = 1.
  • Da posição (1,2): -3 + x y = 0.
Substituo x=1:
-3 + 1\cdot y = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3.
  • Verificação rápida pela posição (2,2): -5 + 2y deve ser 1. Substituindo y=3,
-5 + 2\cdot 3 = -5 + 6 = 1,
que confirma a consistência.

Resposta

x=1
y=3

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