Considere a equação diofantina linear:
Verifique se a equação possui solução inteira. Caso a equação possua solução, determine uma solução particular
e a sua solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diofantina linear
e pede três coisas claras:
- Verificar se existe solução inteira.
- Se existir, encontrar uma solução particular
. - Determinar a solução geral (todas as soluções inteiras).
Informações dadas: os coeficientes e o termo independente são
,
e
.
Passo 2
Condição de existência (explicação didática): para a equação diofantina linear
existir solução inteira é necessário e suficiente que o máximo divisor comum de
e
, denotado
, divida
. Intuição simples: qualquer combinação inteira
só pode produzir múltiplos de
. Portanto, se
, não há como obter
.
Vou aplicar isso ao nosso caso com
,
,
.
Passo 3
Cálculo de
usando o Algoritmo de Euclides (passo a passo):
Dividimos
por
:
Dividimos
por
:
Dividimos
por
:
Quando o resto fica
, o último resto não-nulo é o
. Logo
Passo 4
Verificação da condição de existência: como
e o termo independente é
, temos que
divide
. Portanto, a equação tem solução inteira.
Uma técnica útil é dividir toda a equação por
para simplificá-la. Fazendo isso obtemos a equação equivalente
Trabalhar com esta equação reduzida facilita achar uma solução particular porque os coeficientes ficaram menores.
Passo 5
Encontrar uma solução particular da equação reduzida
(método do Algoritmo de Euclides estendido, explicado):
Do passo do Algoritmo de Euclides anterior temos as igualdades usadas na retro-substituição:
Dividindo tudo por
(porque estamos trabalhando na versão reduzida) isso corresponde, em escala reduzida, a encontrar inteiros
tais que
Aqui mostro um caminho direto:
. Portanto uma solução da equação reduzida é
Passo 6
Verificação da solução particular na equação original: substituindo em
portanto
é de fato uma solução inteira da equação original.
Passo 7
Construção da solução geral (explicação didática do porquê da fórmula):
Se
é uma solução particular de
, qualquer outra solução inteira
deve satisfazer
Isso significa que
com
e
. Reescrevendo:
Como
, podemos dividir por
e obter que
é múltiplo de
e
é múltiplo de
, com sinais opostos. Formalmente existe
tal que
Assim a solução geral é
Explicação curta: mudar
por
e
por
mantém
inalterado porque
.
Passo 8
Aplicando aos nossos números:
,
,
então
Com a solução particular
, a solução geral é
Exemplo de checagem rápida: para
temos
,
e
funciona. Para
temos
,
e
também funciona.
Resposta
A equação possui solução inteira: Sim.
Solução particular: .
Solução geral: .
Solução particular:
Solução geral: