Considere a equação diofantina linear:
18 x+30 y=6
Verifique se a equação possui solução inteira. Caso a equação possua solução, determine uma solução particular \left(x_{0}, y_{0}\right) e a sua solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diofantina linear
18x+30y=6
e pede três coisas claras:
  1. Verificar se existe solução inteira.
  2. Se existir, encontrar uma solução particular (x_0,y_0).
  3. Determinar a solução geral (todas as soluções inteiras).
Informações dadas: os coeficientes e o termo independente são 18, 30 e 6.

Passo 2

Condição de existência (explicação didática): para a equação diofantina linear
ax+by=c
existir solução inteira é necessário e suficiente que o máximo divisor comum de a e b, denotado \gcd(a,b), divida c. Intuição simples: qualquer combinação inteira ax+by só pode produzir múltiplos de \gcd(a,b). Portanto, se \gcd(a,b)\nmid c, não há como obter c.
Vou aplicar isso ao nosso caso com a=18, b=30, c=6.

Passo 3

Cálculo de \gcd(18,30) usando o Algoritmo de Euclides (passo a passo):
Dividimos 30 por 18:
30 = 18\cdot 1 + 12.
Dividimos 18 por 12:
18 = 12\cdot 1 + 6.
Dividimos 12 por 6:
12 = 6\cdot 2 + 0.
Quando o resto fica 0, o último resto não-nulo é o \gcd. Logo
\gcd(18,30)=6.

Passo 4

Verificação da condição de existência: como \gcd(18,30)=6 e o termo independente é c=6, temos que 6 divide 6. Portanto, a equação tem solução inteira.
Uma técnica útil é dividir toda a equação por d=\gcd(18,30)=6 para simplificá-la. Fazendo isso obtemos a equação equivalente
3x+5y=1.
Trabalhar com esta equação reduzida facilita achar uma solução particular porque os coeficientes ficaram menores.

Passo 5

Encontrar uma solução particular da equação reduzida 3x+5y=1 (método do Algoritmo de Euclides estendido, explicado):
Do passo do Algoritmo de Euclides anterior temos as igualdades usadas na retro-substituição:
6 = 18 - 12\quad\text{e}\quad 12 = 30-18.
Dividindo tudo por 6 (porque estamos trabalhando na versão reduzida) isso corresponde, em escala reduzida, a encontrar inteiros u,v tais que
1 = 2\cdot 3 - 1\cdot 5.
Aqui mostro um caminho direto: 2\cdot 3 -1\cdot 5 = 6-5 = 1. Portanto uma solução da equação reduzida é
x=2,\qquad y=-1.

Passo 6

Verificação da solução particular na equação original: substituindo em \;18x+30y\;:
18\cdot 2 + 30\cdot(-1)=36-30=6,
portanto (x_0,y_0)=(2,-1) é de fato uma solução inteira da equação original.

Passo 7

Construção da solução geral (explicação didática do porquê da fórmula):
Se (x_0,y_0) é uma solução particular de ax+by=c, qualquer outra solução inteira (x,y) deve satisfazer
a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.
Isso significa que a\Delta x + b\Delta y = 0 com \Delta x=x-x_0 e \Delta y=y-y_0. Reescrevendo:
a\Delta x = -b\Delta y.
Como \gcd(a,b)=d, podemos dividir por d e obter que \Delta x é múltiplo de b/d e \Delta y é múltiplo de a/d, com sinais opostos. Formalmente existe t\in\mathbb{Z} tal que
\Delta x = \frac{b}{d}\,t,\qquad \Delta y = -\frac{a}{d}\,t.
Assim a solução geral é
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Explicação curta: mudar x por \frac{b}{d} e y por -\frac{a}{d} mantém ax+by inalterado porque a\frac{b}{d}-b\frac{a}{d}=0.

Passo 8

Aplicando aos nossos números: a=18, b=30, d=6 então
\frac{b}{d}=\frac{30}{6}=5,\qquad \frac{a}{d}=\frac{18}{6}=3.
Com a solução particular (x_0,y_0)=(2,-1), a solução geral é
x = 2 + 5t,\qquad y = -1 - 3t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Exemplo de checagem rápida: para t=1 temos x=7, y=-4 e
18\cdot 7 + 30\cdot (-4)=126-120=6,
funciona. Para t=-1 temos x=-3, y=2 e
18\cdot(-3)+30\cdot 2 = -54+60=6,
também funciona.

Resposta

A equação possui solução inteira: Sim.
Solução particular: (x_0,y_0)=(2,-1).
Solução geral: \;x=2+5t,\;y=-1-3t,\;t\in\mathbb{Z}.

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