Dados A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right] e \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}6 & -2 \\\\ 2 & -6\end{array}\right], resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{c} X-2 Y=3 A-2 B \\\\ 2 X+Y=A+B \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}6 & -2 \\[4pt] 2 & -6\end{pmatrix}
e pede para resolver o sistema matricial
\begin{cases} X-2Y=3A-2B,\\[4pt] 2X+Y=A+B. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • A e B são matrizes 2\times2 dadas explicitamente acima.
  • As incógnitas são as matrizes X e Y (presumimos também 2\times2).
  • Podemos usar operações usuais com matrizes: soma, subtração e multiplicação por escalar (essas operações são feitas elemento a elemento e obedecem às mesmas regras algébricas dos escalares).]

Passo 2

Como as incógnitas aparecem de forma linear (apenas somas e múltiplos escalares), podemos tratar esse sistema exatamente como um sistema linear em escalares e usar eliminação. Explico rapidamente a ideia:
  • Podemos multiplicar uma equação por um escalar e somar/subtrair equações porque essas operações valem para matrizes também.
  • O objetivo é eliminar uma das incógnitas ( X ou Y) combinando as duas equações, ficando com uma equação que permita resolver diretamente a incógnita restante.

Passo 3

Escrevemos as duas equações explicitamente (já dadas):
(1)\quad X-2Y=3A-2B
(2)\quad 2X+Y=A+B
Para eliminar X podemos multiplicar a equação (1) por 2 e depois subtrair a equação (2). Primeiramente multiplico (1) por 2:
2X-4Y=6A-4B.

Passo 4

Agora subtraio a equação (2) da equação obtida:
(2X-4Y)-(2X+Y)=(6A-4B)-(A+B).
No lado esquerdo 2X-4Y-2X-Y=-5Y. No lado direito 6A-4B-A-B=5A-5B. Então obtemos
-5Y=5A-5B.
Dividindo ambos os lados por -5 (ou multiplicando por -\tfrac{1}{5}) temos
Y = -(A-B)=B-A.
Aqui usei que dividir por escalar é válido componente a componente em matrizes.

Passo 5

Agora que temos Y, voltamos à equação (2) para achar X:
2X+Y=A+B.
Substituindo Y=B-A,
2X+(B-A)=A+B.
Isolando 2X,
2X = A+B - (B-A) = A+B-B+A = 2A.
Dividindo por 2,
X = A.

Passo 6

Vamos calcular explicitamente as matrizes numéricas obtidas para ficar bem claro (subtração elemento a elemento). Usamos Y=B-A:
Y=\begin{pmatrix}6 & -2 \\[4pt] 2 & -6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6-2 & -2-0 \\[4pt] 2-0 & -6-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 2 & -10\end{pmatrix}.
E X=A já é
X=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (rápido check para garantir que não houve erro): calcular X-2Y com os valores encontrados e comparar com 3A-2B.
  • X-2Y = A-2(B-A)=A-2B+2A=3A-2B. A verificação simbólica bate exatamente, então a solução está correta.

Resposta

X=
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}
Y=
\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 2 & -10\end{pmatrix}]

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