A e B são matrizes 2\times2 dadas explicitamente acima.
As incógnitas são as matrizes X e Y (presumimos também 2\times2).
Podemos usar operações usuais com matrizes: soma, subtração e multiplicação por escalar (essas operações são feitas elemento a elemento e obedecem às mesmas regras algébricas dos escalares).]
Passo 2
Como as incógnitas aparecem de forma linear (apenas somas e múltiplos escalares), podemos tratar esse sistema exatamente como um sistema linear em escalares e usar eliminação. Explico rapidamente a ideia:
Podemos multiplicar uma equação por um escalar e somar/subtrair equações porque essas operações valem para matrizes também.
O objetivo é eliminar uma das incógnitas (X ou Y) combinando as duas equações, ficando com uma equação que permita resolver diretamente a incógnita restante.
Passo 3
Escrevemos as duas equações explicitamente (já dadas):
(1)\quad X-2Y=3A-2B
(2)\quad 2X+Y=A+B
Para eliminar X podemos multiplicar a equação (1) por 2 e depois subtrair a equação (2). Primeiramente multiplico (1) por 2:
2X-4Y=6A-4B.
Passo 4
Agora subtraio a equação (2) da equação obtida:
(2X-4Y)-(2X+Y)=(6A-4B)-(A+B).
No lado esquerdo 2X-4Y-2X-Y=-5Y. No lado direito 6A-4B-A-B=5A-5B. Então obtemos
-5Y=5A-5B.
Dividindo ambos os lados por -5 (ou multiplicando por -\tfrac{1}{5}) temos
Y = -(A-B)=B-A.
Aqui usei que dividir por escalar é válido componente a componente em matrizes.
Passo 5
Agora que temos Y, voltamos à equação (2) para achar X:
2X+Y=A+B.
Substituindo Y=B-A,
2X+(B-A)=A+B.
Isolando 2X,
2X = A+B - (B-A) = A+B-B+A = 2A.
Dividindo por 2,
X = A.
Passo 6
Vamos calcular explicitamente as matrizes numéricas obtidas para ficar bem claro (subtração elemento a elemento). Usamos Y=B-A: