Calcule a saída y(t) à aplicação da entrada x(t) no sistema com resposta ao impulso h(t), sendo
\begin{aligned} x(t) & =e^{t} u(t) \\\ h(t) & =e^{-t} u(t)+\delta(t-2) \end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema LTI cuja saída é
y(t) = (x * h)(t)
onde
x(t) = e^{t}u(t), \quad h(t) = e^{-t}u(t) + \delta(t-2).
O conteúdo é convolução de sinais em tempo contínuo. Vamos usar a definição de convolução e a propriedade de deslocamento do delta de Dirac.

Passo 2

Pela definição de convolução
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau
e como
h(t-\tau) = e^{-(t-\tau)}u(t-\tau) \;+\;\delta\bigl(t-\tau-2\bigr),
podemos escrever
y(t) = y_1(t) + y_2(t)
com
y_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{-(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau,
y_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta\bigl(t-\tau-2\bigr)\,d\tau.

Passo 3

Para calcular y_1(t), note que x(\tau)=0 para \tau<0 e u(t-\tau)=0 para \tau>t. Logo o integral vai de \tau=0 a \tau=t (assumindo t\ge0):
y_1(t) = \int_{0}^{t} e^{\tau}\;e^{-(t-\tau)}\,d\tau = \int_{0}^{t} e^{2\tau - t}\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t} e^{2\tau}\,d\tau.
Calculando a integral:
\int_{0}^{t} e^{2\tau}\,d\tau = \frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr),
então
y_1(t) = e^{-t}\,\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)
e, incluindo o suporte,
y_1(t) = \frac{1}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)\,u(t).

Passo 4

Para calcular y_2(t), usamos a propriedade do delta de Dirac:
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,\delta\bigl(t-\tau-2\bigr)\,d\tau = x(t-2).
Como x(t-2)=e^{\,t-2}u(t-2), temos
y_2(t)=e^{\,t-2}\,u(t-2).

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos a saída total:
y(t) = y_1(t) + y_2(t) = \frac{1}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)\,u(t) \;+\; e^{t-2}\,u(t-2).

Resposta

y(t) = \frac{1}{2}\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)\,u(t) \;+\; e^{t-2}\,u(t-2).

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