Considerando o sinal x(t)=t e^{-t} \cos (2 t) u(t), determine:
Sua transformada X(s)=\mathcal{L}\left\{x(t)\right\};

Passo 1

O enunciado dá
x(t)=t\,e^{-t}\cos(2t)\,u(t)
e pede sua transformada de Laplace X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.
Vamos usar a definição de Laplace e a propriedade de derivada em frequência que diz
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}=-\frac{d}{ds}\bigl[F(s)\bigr],
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Definimos
f(t)=e^{-t}\cos(2t)\,u(t).
Pela tabela ou pela integral
F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cos(2t)\,e^{-s t}dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos(2t)\,dt,
sabemos que
F(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 3

Como x(t)=t\,f(t), vale
X(s)=\mathcal{L}\{t\,f(t)\} =-\frac{d}{ds}F(s) =-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\Bigr].

Passo 4

Para derivar \displaystyle F(s)=\frac{A(s)}{B(s)} com A(s)=s+1 e B(s)=(s+1)^{2}+4, usamos a regra do quociente:
F'(s) =\frac{B(s)\,A'(s)-A(s)\,B'(s)}{[B(s)]^{2}} =\frac{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)\cdot1-(s+1)\cdot2(s+1)}{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}} =\frac{4-(s+1)^{2}}{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}}.
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X(s)=-F'(s) =\frac{(s+1)^{2}-4}{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}}.

Resposta

X(s)=\frac{(s+1)^{2}-4}{\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)^{2}}.

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