Calcule as seguinte integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- O integrando é a função racional
. - O denominador está fatorado como
, logo há polos simples em , e .
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma funçãotal que , válida onde o integrando está definido.
Passo 2
Decidindo o método: como o integrando é uma fração racional cujo grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
) e o denominador está fatorado em fatores lineares distintos, o método mais direto e prático é decompor em frações parciais do tipo
onde
,
e
são constantes a determinar. Vou explicar o porquê disso: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, toda fração racional própria pode ser escrita como soma de termos
. Isso facilita muito a integração porque cada termo integra para um logaritmo simples.
Passo 3
Montar a identidade que vai permitir achar
,
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a igualdade polinomial
Essa é uma identidade que vale para todo
(exceto nos pontos singulares, mas como identidade polinomial vale em todos os reais). Para encontrar
posso ou comparar coeficientes ou avaliar a identidade em valores convenientes de
. Vou usar valores convenientes (método rápido e limpo):
,
e
.
Passo 4
Avaliar a identidade em
:
Isto é,
Avaliar em
:
Isto é,
Avaliar em
:
Observe que muitos termos são zero; explicitando,
Conferindo por comparação de coeficientes (opcional): com
,
,
temos
(coef. de
),
(coef. de
) e
(constante), que coincide com os coeficientes do numerador original.
Passo 5
Agora a integral se escreve como soma de termos fáceis:
Vou integrar termo a termo. Lembrando a fórmula básica:
onde
é constante e o valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; a primitiva usa
para cobrir ambos os sinais.
Aplicando isso:
Somando,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos, se quisermos, reunir os logaritmos em um só usando propriedades (opcional para a prova):
portanto a primitiva também pode ser escrita como
Lembre-se de indicar sempre que a solução é válida onde o integrando está definido, isto é, para
.