Calcule as seguinte integrais:
\int \frac{2 x^{2}-3 x-1}{x(x-1)(x+1)} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}-3 x-1}{x(x-1)(x+1)}\,dx.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • O integrando é a função racional \dfrac{2x^{2}-3x-1}{x(x-1)(x+1)}.
  • O denominador está fatorado como x(x-1)(x+1), logo há polos simples em x=0, x=1 e x=-1.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x^{2}-3x-1}{x(x-1)(x+1)}, válida onde o integrando está definido.

Passo 2

Decidindo o método: como o integrando é uma fração racional cujo grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3) e o denominador está fatorado em fatores lineares distintos, o método mais direto e prático é decompor em frações parciais do tipo
\frac{2 x^{2}-3 x-1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Vou explicar o porquê disso: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, toda fração racional própria pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\text{constante}}{x-\text{raiz}}. Isso facilita muito a integração porque cada termo integra para um logaritmo simples.

Passo 3

Montar a identidade que vai permitir achar A, B e C. Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1) obtemos a igualdade polinomial
2x^{2}-3x-1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1).
Essa é uma identidade que vale para todo x (exceto nos pontos singulares, mas como identidade polinomial vale em todos os reais). Para encontrar A,B,C posso ou comparar coeficientes ou avaliar a identidade em valores convenientes de x. Vou usar valores convenientes (método rápido e limpo): x=0, x=1 e x=-1.

Passo 4

Avaliar a identidade em x=0:
2\cdot 0^{2}-3\cdot 0-1 = A(0-1)(0+1) + B\cdot 0\cdot(0+1) + C\cdot 0\cdot(0-1).
Isto é,
-1 = A(-1)(1) + 0 + 0 \quad\Rightarrow\quad -1 = -A \quad\Rightarrow\quad A = 1.
Avaliar em x=1:
2\cdot1^{2}-3\cdot1-1 = A(1-1)(1+1) + B\cdot1\cdot(1+1) + C\cdot1\cdot(1-1).
Isto é,
2-3-1 = 0 + B\cdot 2 + 0 \quad\Rightarrow\quad -2 = 2B \quad\Rightarrow\quad B = -1.
Avaliar em x=-1:
2\cdot(-1)^{2}-3(-1)-1 = A(-1-1)(-1+1) + B(-1)(-1+1) + C(-1)(-1-1).
Observe que muitos termos são zero; explicitando,
2 + 3 -1 = 0 + 0 + C(-1)(-2) \quad\Rightarrow\quad 4 = 2C \quad\Rightarrow\quad C = 2.
Conferindo por comparação de coeficientes (opcional): com A=1, B=-1, C=2 temos A+B+C=1-1+2=2 (coef. de x^{2}), B-C=-1-2=-3 (coef. de x) e -A=-1 (constante), que coincide com os coeficientes do numerador original.

Passo 5

Agora a integral se escreve como soma de termos fáceis:
\int \frac{2 x^{2}-3 x-1}{x(x-1)(x+1)}\,dx = \int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx.
Vou integrar termo a termo. Lembrando a fórmula básica:
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C,
onde a é constante e o valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; a primitiva usa \ln|\,\cdot\,| para cobrir ambos os sinais.
Aplicando isso:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  • \displaystyle \int \frac{-1}{x-1}\,dx = -\ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Somando,
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx = \ln|x| - \ln|x-1| + 2\ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Podemos, se quisermos, reunir os logaritmos em um só usando propriedades (opcional para a prova):
\ln|x| - \ln|x-1| + 2\ln|x+1| = \ln\!\left(\frac{|x|(x+1)^{2}}{|x-1|}\right),
portanto a primitiva também pode ser escrita como
\ln\!\left(\frac{|x|(x+1)^{2}}{|x-1|}\right) + C.
Lembre-se de indicar sempre que a solução é válida onde o integrando está definido, isto é, para x\neq 0,\pm 1.

Resposta

\ln|x|-\ln|x-1|+2\ln|x+1|+C

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