6- Uma fábrica drena 100 \mathrm{~A} \operatorname{com} \cos \theta=0,7 \mathrm{em} atraso, do secundário de uma bancada transformadora de distribuição de 60 \mathrm{kVA}, 2300 / 230 \mathrm{~V}, ligada em Y-Δ. Calcule:
a. A potência real consumida em kW e a aparente em kVA . Resp: 28 kW e 40 kVA .
b. As correntes primárias e secundárias nominais de fase e de linha da bancada. Resp: I_{f Y}=10 \mathrm{~A}, I_{l Y}=10 A, I_{l \Delta}=150 \mathrm{~A}, I_{f \Delta}=87 \mathrm{~A}.
c. A capacidade em kVA de cada transformador. Resp: 20 kVA .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado).
  • Dados:
    • A bancada trifásica tem potência aparente nominal total S_{\text{bancada}}=60\\ \text{kVA}.
    • Tensões linha-linha: V_{LL,\text{pri}}=2300\\ \text{V} (lado primário) e V_{LL,\text{sec}}=230\\ \text{V} (lado secundário).
    • Ligação da bancada: primário em Y e secundário em Δ.
    • A fábrica retira do secundário uma corrente de linha I_{\text{load}}=100\\ \text{A} com fator de potência \cos\theta=0{,}7 (atraso).
  • O enunciado pede:
    (a) potência real consumida (kW) e aparente consumida (kVA) pela fábrica;
    (b) as correntes nominais da bancada (primária e secundária), especificando corrente de fase e de linha;
    (c) a capacidade em kVA de cada transformador da bancada (assumindo 3 transformadores iguais).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Potência aparente trifásica (linha): S = \sqrt{3}\;V_{LL}\;I_{L},
onde S é a potência aparente em volt-ampères (VA ou kVA), V_{LL} é a tensão linha-linha (V) e I_{L} é a corrente de linha (A).
  • Potência ativa (real): P = S\cos\theta,
onde \cos\theta é o fator de potência (unitário entre -1 e 1).
Observação didática: essa fórmula vale para sistemas trifásicos equilibrados quando S é calculado pela fórmula acima. Para cargas indutivas com atraso, \cos\theta é positivo mas indica corrente atrasada em relação à tensão.

Passo 3

Calcular a potência aparente e a potência ativa absorvidas pela carga (a fábrica), usando V_{LL,\text{sec}}=230\\ \text{V} e I_{L,\text{sec}}=100\\ \text{A}.
  • Aparente: S_{\text{carga}}=\sqrt{3}\;V_{LL,\text{sec}}\;I_{L,\text{sec}} =\sqrt{3}\cdot 230\cdot 100.
Calculemos passo a passo: \sqrt{3}\approx 1{,}732, então S_{\text{carga}} \approx 1{,}732\cdot 230\cdot 100 = 39\,836\\ \text{VA}\approx 39{,}84\\ \text{kVA}.
Arredondando para valores convencionais obtemos S_{\text{carga}}\approx 40\\ \text{kVA}.
  • Ativa: P_{\text{carga}}=S_{\text{carga}}\cos\theta \approx 39{,}836\cdot 0{,}7 \approx 27\,885\\ \text{W}\approx 27{,}89\\ \text{kW},
arredondando: P_{\text{carga}}\approx 28\\ \text{kW}.

Passo 4

Agora vamos calcular as correntes nominais da bancada para a potência total nominal S_{\text{bancada}}=60\\ \text{kVA}. Fórmula para corrente de linha nominal: I_{L,\text{nom}}=\frac{S_{\text{bancada}}}{\sqrt{3}\;V_{LL}}.
Aplicamos essa fórmula tanto ao primário (2300 V) quanto ao secundário (230 V).
  • Corrente de linha nominal no primário (lado Y): I_{l,Y}=\frac{60\,000}{\sqrt{3}\cdot 2300}.
Calculemos: \sqrt{3}\cdot 2300 \approx 1{,}732\cdot 2300 = 3\,983{,}6. Assim I_{l,Y}\approx\frac{60\,000}{3\,983{,}6}\approx 15{,}06\\ \text{A}.
Explicação didática da ligação Y: em conexão em Y a corrente de linha é igual à corrente de fase, logo I_{f,Y}=I_{l,Y}\approx 15{,}06\\ \text{A}.
  • Corrente de linha nominal no secundário (lado Δ): I_{l,\Delta}=\frac{60\,000}{\sqrt{3}\cdot 230}.
Calculemos: \sqrt{3}\cdot 230 \approx 1{,}732\cdot 230 = 398{,}36. Assim I_{l,\Delta}\approx\frac{60\,000}{398{,}36}\approx 150{,}6\\ \text{A}.
Explicação didática da ligação Δ: no lado em Δ cada transformador tem uma corrente de fase (corrente no enrolamento do transformador secundário) diferente da corrente de linha da rede. Para delta vale a relação I_{L,\Delta}=\sqrt{3}\;I_{ph,\Delta}\qquad\Rightarrow\qquad I_{ph,\Delta}=\frac{I_{L,\Delta}}{\sqrt{3}}.
Portanto a corrente de fase (corrente em cada secundário de transformador) é I_{f,\Delta}=\frac{I_{l,\Delta}}{\sqrt{3}}\approx\frac{150{,}6}{1{,}732}\approx 86{,}96\\ \text{A}\approx 87\\ \text{A}.

Passo 5

Resumo dos cálculos numéricos (valores arredondados de forma prática para uso em prova):
  • Do item (a): S_{\text{carga}}\approx 40\\ \text{kVA},\qquad P_{\text{carga}}\approx 28\\ \text{kW}.
  • Do item (b): correntes nominais da bancada (para S_{\text{bancada}}=60\\ \text{kVA}):
    • Primário (Y): I_{f,Y}=I_{l,Y}\approx 15{,}06\\ \text{A} (ou 15\\ \text{A} aproximado).
    • Secundário (Δ): I_{l,\Delta}\approx 150{,}6\\ \text{A} (ou 150\\ \text{A}), e I_{f,\Delta}\approx 86{,}96\\ \text{A} (ou 87\\ \text{A}).
  • Do item (c): capacidade de cada transformador (a bancada tem 3 transformadores iguais): S_{\text{por transformador}}=\frac{60\\ \text{kVA}}{3}=20\\ \text{kVA}.

Resposta

(a) P_{\text{carga}}=28\\ \text{kW} \qquad S_{\text{carga}}=40\\ \text{kVA}
(b) I_{f,Y}=I_{l,Y}\approx 15{,}06\\ \text{A}\\ (\approx 15\\ \text{A})
\qquad I_{l,\Delta}\approx 150{,}6\\ \text{A}\\ (\approx 150\\ \text{A})
\qquad I_{f,\Delta}\approx 86{,}96\\ \text{A}\\ (\approx 87\\ \text{A})
(c) S_{\text{por transformador}}=20\\ \text{kVA}

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