5- Três Transformadores monofásicos de 50 kVA e 2400:240 V, são conectados em estrela-delta em um banco trifásico de 150 kVA para baixar a tensão no lado de carga de um alimentador cuja impedância é 0,15+j 1 \Omega / fase. A tensão de linha no terminal de envio é 4160 V . No lado do secundário, os transformadores suprem uma carga trifásica equilibrada através de um outro alimentado cuja impedância é 0,0005+j 0,0020 \Omega / fase. Encontre a tensão de linha na carga quando essa solicita uma corrente nominal dos transformadores com um fator de potência de 0,80 indutivo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo o que eu usei vem do enunciado).
  • Três transformadores monofásicos, cada um com potência nominal 50\\ \text{kVA} e enrolamentos 2400:240\\ \text{V}, montados em banco trifásico estrela–delta (Y–Δ) para formar 150\\ \text{kVA}.
  • Impedância do alimentador entre o terminal de envio e o lado de entrada dos transformadores: Z_{1}=0{,}15+j\,1\\ \Omega por fase.
  • Tensão de linha no terminal de envio: V_{S,LL}=4160\\ \text{V}.
  • No lado do secundário (após os transformadores) há outro alimentador que liga os transformadores à carga, com impedância por fase Z_{2}=0{,}0005+j\,0{,}0020\\ \Omega.
  • A carga trifásica é equilibrada e “solicita a corrente nominal dos transformadores” com fator de potência 0{,}80 indutivo (ou seja, pf =0{,}80 defasagem, equivalente a ângulo \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)=36{,}87^\circ, carga indutiva).
  • O que se pede: encontrar a tensão de linha na carga (ou seja, a tensão trifásica em nível secundário no ponto de carga), considerando as quedas de tensão nos dois alimentadores e a transformação.
Observação útil (peguei dos dados acima): como o banco é estrela (primário) — delta (secundário) e o enrolamento é 2400:240, então a razão de transformação por enrolamento é
a=\frac{V_{1,\text{fase}}}{V_{2,\text{enrolamento}}}=\frac{2400}{240}=10.
Além disso, para a configuração Y–Δ, a tensão de linha no primário correspondente a V_{1,\text{fase}}=2400\\ \text{V} é
V_{1,LL}=2400\sqrt{3}\approx4157{,}6\\ \text{V}\approx4160\\ \text{V},
o que coincide com a tensão de envio dada — logo os dados são consistentes.

Passo 2

Primeiro cálculo prático: corrente nominal total que a carga/transformador está solicitando.
  • O banco total é 150\\ \text{kVA}. Se a carga “solicita a corrente nominal dos transformadores”, isso significa que a potência aparente trifásica absorvida é
S_{\text{total}}=150\\ \text{kVA}=150000\\ \text{VA},
com fator de potência 0{,}80 indutivo (ângulo \varphi=36{,}87^\circ, carga indutiva).
  • A tensão nominal no lado secundário (linha–linha) é V_{2,LL,\text{nom}}=240\\ \text{V}. A corrente de linha nominal (trifásica) vale
I_{2,\text{LL}}=\frac{S_{\text{total}}}{\sqrt{3}\,V_{2,LL}}=\frac{150000}{\sqrt{3}\cdot240}.
Faço a conta sem pular etapas:
\sqrt{3}\cdot240\approx1{,}732\cdot240=415{,}692.
I_{2,\text{LL}}=\frac{150000}{415{,}692}\approx360{,}84\\ \text{A}.
  • O argumento de fase da corrente (para carga indutiva) é -\varphi. Assim o fasor de corrente de linha do secundário é
I_{2,\text{LL}}=360{,}84\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}.
Comentário didático curto: para uma carga trifásica equilibrada a relação entre potência aparente total, tensão de linha e corrente de linha é \;S=\sqrt{3}\,V_{LL}\,I_{LL}\;. Por isso essa fórmula foi usada.

Passo 3

Entender as correntes por enrolamento (útil para passar pelo transformador).
  • No secundário em delta, a corrente de fase (corrente no enrolamento do transformador) é
I_{2,\text{ph}}=\frac{I_{2,\text{LL}}}{\sqrt{3}}=\frac{360{,}84}{1{,}732}\approx208{,}33\\ \text{A},
com ângulo -36{,}87^\circ. Isso é coerente com a potência por fase 50\\ \text{kVA} por transformador: 50\text{ kVA}/240\\ \text{V}=208{,}33\\ \text{A}.
  • A corrente correspondente no primário (enrolamento estrela) é obtida dividindo pela razão de transformação a:
I_{1,\text{ph}}=\frac{I_{2,\text{ph}}}{a}=\frac{208{,}33}{10}=20{,}833\\ \text{A},
com o mesmo ângulo -36{,}87^\circ. Em estrela a corrente de fase é a mesma que a corrente de linha do primário, então a corrente no alimentador entre envio e transformadores é
I_{1,\text{LL}}=I_{1,\text{ph}}=20{,}833\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}.
Breve explicação: para transformador ideal, as correntes se relacionam inversamente com a razão de tensões por enrolamento; em conexão Y–Δ é necessário considerar se é corrente de linha ou de fase — por isso passei pela corrente de enrolamento no secundário (delta) e depois dividi por a.

Passo 4

Calcular a queda de tensão no alimentador de envio (entre o terminal de envio e o primário dos transformadores).
  • Impedância por fase do alimentador de envio: Z_{1}=0{,}15+j\,1\\ \Omega.
  • Corrente por fase (no primário) em forma retangular: primeiro transformo o fasor
I_{1}=20{,}833\angle -36{,}87^\circ.
Usando \cos36{,}87^\circ=0{,}8 e \sin36{,}87^\circ=0{,}6,
I_{1}=20{,}833(0{,}8 - j\,0{,}6)=16{,}6667 - j\,12{,}5\\ \text{A}.
  • Queda de tensão por fase no alimentador de envio:
\Delta V_{1}=I_{1}\,Z_{1}=(16{,}6667 - j\,12{,}5)(0{,}15 + j\,1).
Faço a multiplicação passo a passo:
16{,}6667\cdot0{,}15=2{,}5,\qquad 16{,}6667\cdot j1=j\,16{,}6667,
- j\,12{,}5\cdot0{,}15=-j\,1{,}875,\qquad -j\,12{,}5\cdot j1=+12{,}5.
Somando real e imaginária:
\Delta V_{1}=(2{,}5+12{,}5)+j(16{,}6667-1{,}875)=15{,}0 + j\,14{,}7917\\ \text{V}.
Magnitude desta queda é pequena: |\Delta V_{1}|\approx21{,}06\\ \text{V}.

Passo 5

Calcular a tensão de fase no primário no terminal dos transformadores (após a queda do alimentador de envio).
  • A tensão de fase do envio (referência) é
V_{S,\text{ph}}=\frac{V_{S,LL}}{\sqrt{3}}=\frac{4160}{\sqrt{3}}=2400\\ \text{V}\\ \angle 0^\circ.
  • Então a tensão de fase disponível no primário dos transformadores é
V_{1,\text{ph}}=V_{S,\text{ph}}-\Delta V_{1}=2400\angle0^\circ - (15{,}0 + j\,14{,}7917).
Faço a subtração em retangular:
V_{1,\text{ph}}=(2400-15{,}0) - j\,14{,}7917 = 2385 - j\,14{,}7917\\ \text{V}.
Magnitude aproximada:
|V_{1,\text{ph}}|\approx\sqrt{2385^2 + 14{,}7917^2}\approx2385{,}05\\ \text{V}.
(obs.: a queda é pequena em relação a 2400\\ \text{V}, então faz pouca diferença no ganho de tensão).
Didática curta: subtrai-se a queda complexa (real + j imaginária) do fasor de tensão de referência para obter a tensão complexa no ponto de interesse.

Passo 6

Passo ao secundário através da relação de transformação (Y–Δ): obter a tensão nos terminais secundários dos transformadores (lado próximo aos alimentadores secundários).
  • Relação por enrolamento: a=10. A tensão por enrolamento do secundário (tensão no enrolamento do delta, que é igual à tensão de linha do delta) é dada por
V_{2,\text{enrolamento}}=\frac{V_{1,\text{ph}}}{a}=\frac{2385 - j\,14{,}7917}{10}=238{,}5 - j\,1{,}47917\\ \text{V}.
Observação importante sobre conexões: em conexão Y–Δ existe um deslocamento de fase de 30^\circ entre as tensões de linha do primário e do secundário; porém ao usar as relações por enrolamento (fase a enrolamento) a magnitude e a relação complexa são corretamente tratadas por 1/a para as tensões de enrolamento. Para calcular tensões relativas ao carregamento e quedas subsequentes, basta manter os fasores consistentes; o deslocamento de 30^\circ apenas altera o ângulo absoluto, não a magnitude final que nos interessa aqui (a análise por fases simétricas permite trabalhar por uma fase e obter magnitude final).

Passo 7

Calcular a queda de tensão no alimentador do secundário (entre terminais dos transformadores e a carga).
  • Impedância do alimentador secundário por fase: Z_{2}=0{,}0005+j\,0{,}0020\\ \Omega.
  • Corrente de linha no secundário (já calculada) é
I_{2,\text{LL}}=360{,}84\angle -36{,}87^\circ\\ \text{A}.
Converto para retangular (uso os mesmos cosseno e seno):
I_{2}=360{,}84(0{,}8 - j\,0{,}6)=288{,}672 - j\,216{,}504\\ \text{A}.
  • Queda no alimentador secundário por fase:
\Delta V_{2}=I_{2}\,Z_{2}=(288{,}672 - j\,216{,}504)(0{,}0005 + j\,0{,}002).
Multiplico passo a passo:
288{,}672\cdot0{,}0005=0{,}144336,\qquad 288{,}672\cdot j0{,}002=j\,0{,}577344,
- j\,216{,}504\cdot0{,}0005=-j\,0{,}108252,\qquad -j\,216{,}504\cdot j0{,}002=+0{,}433008.
Somando real e imaginária:
\Delta V_{2}=(0{,}144336+0{,}433008)+j(0{,}577344-0{,}108252)=0{,}577344 + j\,0{,}469092\\ \text{V}.
Magnitude da queda: |\Delta V_{2}|\approx0{,}74\\ \text{V} — muito pequena, mas vamos considerar.

Passo 8

Determinar a tensão efetiva na carga (tensão de linha na carga).
  • A tensão no terminal secundário (lado transformador) que alimenta o alimentador secundário é
V_{2,\text{term}}=V_{2,\text{enrolamento}} \quad\text{(pois em Δ a tensão de enrolamento é a tensão de linha do secundário).}ãéãá
  • A tensão na carga, por fase, é
V_{L}=V_{2,\text{term}}-\Delta V_{2}.
Substituo os valores complexos (tudo em volts):
V_{2,\text{term}}=238{,}5 - j\,1{,}47917, \qquad \Delta V_{2}=0{,}577344 + j\,0{,}469092.
Então
V_{L}=(238{,}5 - j\,1{,}47917) - (0{,}577344 + j\,0{,}469092).
Faço a subtração componente a componente:
V_{L}=(238{,}5 - 0{,}577344) + j(-1{,}47917 - 0{,}469092)
V_{L}=237{,}922656 - j\,1{,}948262\\ \text{V}.
  • Magnitude e ângulo:
|V_{L}|=\sqrt{237{,}922656^{2} + (-1{,}948262)^{2}}\approx237{,}9379\\ \text{V},
\angle V_{L}=\arctan\!\left(\frac{-1{,}948262}{237{,}922656}\right)\approx -0{,}468^\circ.
Interpretação: a tensão de linha na carga ficou ligeiramente abaixo de 240\\ \text{V}, devido às pequenas quedas nos dois alimentadores e ao carregamento nominal.

Resposta

V_{L}=237{,}922656 - j\,1{,}948262\\ \text{V}\approx237{,}94\\ \text{V}\angle -0{,}468^\circ

Exercícios relacionados