Calcule as seguinte integrais de linha:
a)
é qualquer curva regular fechada simples.
b)
é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.
c)
, onde
é o triângulo de vertíces
e
,no sentido anti-horários:
c1) diretamente
c2) utilizando o teorema de Green.
a)
b)
c)
c1) diretamente
c2) utilizando o teorema de Green.
Passo 1
O enunciado pede três integrais de linha do tipo
. Na parte (a) e (b) mostramos que os campos são conservativos em domínios que tornam a curva fechada simple sem singularidades, logo a integral é zero. Na parte (c) o campo não é conservativo, então em (c1) fazemos o cálculo direto por parametrizações dos lados do triângulo e em (c2) aplicamos o Teorema de Green para converter em integral de área.
Passo 2
Para a) note que
Calculamos
e
.
Como estão iguais em todo , o campo é conservativo num domínio simplesmente conexo e, em qualquer curva regular fechada simples,
e
Como estão iguais em todo
Passo 3
Para b) definimos
Temos
e, usando
com
,
.
Como em
e a curva não envolve a origem, o domínio interior é simplesmente conexo e a integral também é zero:
e, usando
Como
Passo 4
Em c) temos
logo
.
O campo não é conservativo, então não podemos usar primitiva global.
O campo não é conservativo, então não podemos usar primitiva global.
Passo 5
(c1) Cálculo direto: o triângulo
tem três arestas.
– Aresta 1: ,
,
. Integral
.
– Aresta 2: ,
,
.
.
– Aresta 1:
– Aresta 2:
– Aresta 3:
,
.
.
Somando
.
Passo 6
(c2) Pelo Teorema de Green,
O triângulo tem base
e altura
, área
. Logo a integral é
Resposta
a)
b)
c1)
c2)
b)
c1)
c2)