Nos seguintes casos, calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \bullet d r.
\mathbf{F}=\left(3 x^{2}-8 y^{2}\right) \mathbf{i}+(4 y-6 x y) \mathbf{j}, \gamma é a fronteira da região
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0 \text { e } x^{2}+y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F}=(3x^2-8y^2)\,\mathbf{i}+(4y-6xy)\,\mathbf{j} e \gamma é a fronteira positivamente orientada da região
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y\le2\}.
O método mais simples é usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=3x^2-8y^2, \qquad Q(x,y)=4y-6xy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=-6y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-16y.
Logo, o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-6y-(-16y)=10y.

Passo 3

Pela fórmula de Green,
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{D}10y\,dA =10\iint_{D}y\,dA.
Para parametrizar D, note que a desigualdade x^2+y\le2 y\le2-x^2, com x de 0 a \sqrt2 e y de 0 a 2-x^2. Preferimos inverter a ordem: y vai de 0 a 2 e x de 0 a \sqrt{2-y}. Assim
\iint_{D}y\,dA =\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{\sqrt{2-y}}y\,dx\,dy =\int_{0}^{2}y\bigl(\sqrt{2-y}-0\bigr)\,dy =\int_{0}^{2}y\sqrt{2-y}\,dy.

Passo 4

Calculemos
I=\int_{0}^{2}y\sqrt{2-y}\,dy.
Fazemos a mudança de variável t=2-y, de modo que y=2-t, dy=-dt, e os limites vão de t=2 a t=0. Então
I =\int_{t=2}^{0}(2-t)\sqrt{t}\,(-dt) =\int_{0}^{2}(2-t)\,t^{1/2}\,dt =\int_{0}^{2}\bigl(2t^{1/2}-t^{3/2}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}2t^{1/2}\,dt =2\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}\Big|_{0}^{2} =\frac{4}{3}\,2^{3/2},
\int_{0}^{2}t^{3/2}\,dt =\frac{2}{5}t^{5/2}\Big|_{0}^{2} =\frac{2}{5}\,2^{5/2}.
Como 2^{3/2}=2\sqrt2 e 2^{5/2}=4\sqrt2, obtemos
I =\frac{4}{3}\,2\sqrt2-\frac{2}{5}\,4\sqrt2 =\frac{8\sqrt2}{3}-\frac{8\sqrt2}{5} =8\sqrt2\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) =\frac{16\sqrt2}{15}.

Passo 5

Voltando ao integral de linha,
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =10\iint_{D}y\,dA =10\,I =10\cdot\frac{16\sqrt2}{15} =\frac{160\sqrt2}{15} =\frac{32\sqrt2}{3}.

Resposta

\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{32\sqrt2}{3}.

Exercícios relacionados