Nos seguintes casos, calcule \int_{\gamma} \mathbf{F} \bullet d r. \mathbf{F}=\left(3 x^{2}-8 y^{2}\right) \mathbf{i}+(4 y-6 x y) \mathbf{j}, \gamma é a fronteira da região
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0 \text { e } x^{2}+y \leq 2\right\}
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F}=(3x^2-8y^2)\,\mathbf{i}+(4y-6xy)\,\mathbf{j} e \gamma é a fronteira positivamente orientada da região
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y\le2\}.
O método mais simples é usar o Teorema de Green, que diz
Para parametrizar D, note que a desigualdade x^2+y\le2 dá y\le2-x^2, com x de 0 a \sqrt2 e y de 0 a 2-x^2. Preferimos inverter a ordem: y vai de 0 a 2 e x de 0 a \sqrt{2-y}. Assim