Ex. 7. Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
\oint_{\gamma} \frac{e^{y}}{x} d x+\left(e^{y} \ln (x)+2 x\right) d y, onde \gamma é a fronteira da região limitada por x=y^{4}+1 e x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\gamma} \frac{e^{y}}{x}\,dx + \bigl(e^{y}\ln(x) + 2x\bigr)\,dy
em que \gamma é a fronteira da região limitada pelas curvas x = y^{4} + 1 e x = 2. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y) = \frac{e^{y}}{x}, \quad Q(x,y) = e^{y}\ln(x) + 2x.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} = e^{y}\,\frac{1}{x} + 2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{e^{y}}{x}.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \Bigl(\frac{e^{y}}{x} + 2\Bigr) - \frac{e^{y}}{x} = 2.

Passo 3

A integral de linha reduz-se a
\iint_{R} 2\,dA = 2 \iint_{R} dA = 2 \times \text{(área de \(R\))}.á
A região R é dada por
y\in[-1,1], \quad x\in\bigl[y^{4}+1,\,2\bigr],
pois y^{4}+1=2 implica y=\pm1. Assim a área é
\int_{-1}^{1}\int_{y^{4}+1}^{2} dx\,dy = \int_{-1}^{1}\bigl(2 - (y^{4}+1)\bigr)\,dy = \int_{-1}^{1}(1 - y^{4})\,dy.
Como y^{4} é par,
\int_{-1}^{1}1\,dy = 2, \quad \int_{-1}^{1}y^{4}\,dy = 2\int_{0}^{1}y^{4}\,dy = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}.
Logo a área de R é
2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}.
Assim
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy = 2 \times \frac{8}{5} = \frac{16}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{5}

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