Calcule o seguinte integral de contorno, utilizando o teorema 1.5.8, considerando que o contorno C é a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é a circunferência
.
Informações relevantes dadas:
- O contorno
é a circunferência centrada na origem com raio . - A função integranda é
. - O denominador anula-se em
. Observação importante: , logo o ponto está dentro do contorno . - O numerador é um polinômio (então é inteiro/analítico em todo
).
Passo 2
Vou usar o teorema indicado (teorema 1.5.8). Em linguagem prática: se
é uma função analítica numa vizinhança fecharada de uma curva simples fechada
e
está no interior de
, então vale a fórmula de Cauchy
Explicando cada peça:
-
é uma função analítica (sem singularidades) na região considerada. -
é um ponto no interior do contorno . - A integral de uma função do tipo
ao redor de é simplesmente vezes o valor de em .
Isto é muito prático porque transforma uma integral de contorno numa avaliação simples de.
Passo 3
Identificar
e
no nosso problema:
- Podemos escrever o integrando como
com
Verificações das hipóteses do teorema:
-
é um polinômio, logo é analítica em toda a região e, em particular, analítica numa vizinhança do disco . - Já observamos que
está dentro do contorno ( ).
Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicar a fórmula de Cauchy.
Passo 4
Calcular
. Primeiro faço com calma a substituição passo a passo:
Lembrando que
, temos
Somando termos reais e imaginários:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Cauchy:
Substituindo
:
Passo 6
Calcular o produto e simplificar usando
:
Distribuindo o
: