Calcule o seguinte integral de contorno, utilizando o teorema 1.5.8, considerando que o contorno C é a circunferência |z|=2.
\int_{C} \frac{z^{2}-4 z+4}{z+i} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\int_{C} \frac{z^{2}-4 z+4}{z+i}\,dz
onde C é a circunferência |z|=2.
Informações relevantes dadas:
  • O contorno C é a circunferência centrada na origem com raio 2.
  • A função integranda é \dfrac{z^{2}-4 z+4}{z+i}.
  • O denominador anula-se em z=-i. Observação importante: |-i|=1<2, logo o ponto z=-i está dentro do contorno C.
  • O numerador é um polinômio (então é inteiro/analítico em todo \mathbb{C}).

Passo 2

Vou usar o teorema indicado (teorema 1.5.8). Em linguagem prática: se f é uma função analítica numa vizinhança fecharada de uma curva simples fechada C e z_{0} está no interior de C, então vale a fórmula de Cauchy
\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz = 2\pi i\, f(z_{0}).
Explicando cada peça:
  • f(z) é uma função analítica (sem singularidades) na região considerada.
  • z_{0} é um ponto no interior do contorno C.
  • A integral de uma função do tipo \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} ao redor de C é simplesmente 2\pi i vezes o valor de f em z_{0}.
    Isto é muito prático porque transforma uma integral de contorno numa avaliação simples de f.

Passo 3

Identificar f e z_{0} no nosso problema:
  • Podemos escrever o integrando como \dfrac{f(z)}{z-(-i)} com
f(z) = z^{2}-4z+4, \qquad z_{0} = -i.
Verificações das hipóteses do teorema:
  • f(z) é um polinômio, logo é analítica em toda a região e, em particular, analítica numa vizinhança do disco |z|\le 2.
  • Já observamos que z_{0}=-i está dentro do contorno ( |-i|=1<2).
    Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicar a fórmula de Cauchy.

Passo 4

Calcular f(z_{0})=f(-i). Primeiro faço com calma a substituição passo a passo:
f(-i)=(-i)^{2}-4(-i)+4.
Lembrando que (-i)^{2}=i^{2}= -1, temos
f(-i) = -1 + 4i + 4.
Somando termos reais e imaginários:
f(-i) = (-1+4) + 4i = 3 + 4i.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Cauchy:
\int_{C} \frac{z^{2}-4 z+4}{z+i}\,dz = 2\pi i \, f(-i).
Substituindo f(-i)=3+4i:
\int_{C} \frac{z^{2}-4 z+4}{z+i}\,dz = 2\pi i\,(3+4i).

Passo 6

Calcular o produto e simplificar usando i^{2}=-1:
2\pi i\,(3+4i) = 2\pi\,(3i + 4i^{2}) = 2\pi\,(3i + 4(-1)) = 2\pi\,(3i - 4).
Distribuindo o 2\pi:
2\pi(3i - 4) = -8\pi + 6\pi i.

Resposta

-8\pi + 6\pi i

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