QUESTÃO 4:
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos da função
na região fechada e limitada
com vértices
e
.
A região
é um triângulo no primeiro quadrante delimitado pelos eixos
e
e pela linha
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função é
. - A região
é o triângulo fechado com vértices , e ; ou seja, .
O que se pede: - Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de
em , e os pontos onde ocorrem.
Passo 2
Observação importante (teorema útil): como
é um polinômio (função contínua) e
é fechado e limitado (compacto), pelo teorema do valor extremo
alcança mínimo e máximo absolutos em
. Para encontrá-los, é preciso verificar:
- pontos críticos interiores de
(onde o gradiente é zero), e - extremos nas fronteiras do triângulo (cada aresta, incluindo os vértices).
Vou começar pelos pontos críticos interiores.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e resolver
.
Resolver o sistema
Da segunda equação segue
. Substituindo na primeira:
logo
e
. Portanto o único ponto crítico do polinômio é
.
Como , esse ponto NÃO pertence a
. Conclusão: não há pontos críticos interiores em
.
Como
Passo 4
Agora examinar as fronteiras. Há três arestas:
- Aresta 1 (eixo
): , com . - Aresta 2 (eixo
): , com . - Aresta 3 (hipotenusa):
, com .
Em cada aresta reduzimosa uma função de uma variável e procuramos extremos no intervalo correspondente (incluindo extremos nos endpoints).
Passo 5
Aresta 1:
. Definir
.
Derivada:
. Zerar dá
, que pertence ao intervalo. Avaliar:
Logo, na aresta
o menor valor é
em
e os valores nos vértices são
.
Passo 6
Aresta 2:
. Definir
.
Derivada:
. Zera em
. Avaliar nos extremos do intervalo:
Portanto na aresta
o maior valor é
em
e o menor é
em
.
Passo 7
Aresta 3:
. Definir
para
.
Calcular:
Calcular:
Simplificando passo a passo:
Assim
em
. Derivada:
, que zera em
(extremo do intervalo). Avaliar:
Logo na hipotenusa o menor valor é
em
e o maior (na extremidade
) é
em
.
Passo 8
Coleção de candidatos (todos os pontos onde podem ocorrer extremos absolutos):
- vértices:
com , com , com ; - ponto crítico na aresta
: com .
Não há pontos críticos interiores em.
Comparando os valores obtidos: o menor valor é
em
e o maior valor é
em
.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: