QUESTÃO 1:

Determine o volume da regiāo limitada entre as superfícies z=3-x^{2}-y^{2} e z=2 x^{2}+2 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume da região limitada entre as superfícies z=3-x^{2}-y^{2} e z=2x^{2}+2y^{2}.
Informações dadas:
  • Superfície 1: z=3-x^{2}-y^{2}.
  • Superfície 2: z=2x^{2}+2y^{2}.
  • A região é o conjunto de pontos (x,y,z) situados entre essas duas superfícies (isto é, para cada (x,y) da projeção no plano xy, z varia da menor das duas superfícies até a maior).
  • A tarefa é calcular o volume dessa região limitada.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem cálculos ainda).
Para achar o volume entre duas superfícies z=z_{\text{sup}}(x,y) e z=z_{\text{inf}}(x,y) sobre uma região D do plano xy, usa-se a fórmula
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}}(x,y)-z_{\text{inf}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Essa fórmula vem da ideia de somar, sobre cada pedacinho de área dA, a altura vertical entre as superfícies.
Observação sobre coordenadas: as duas superfícies dependem de x^{2}+y^{2}, isto é, são simétricas em torno da origem. Sempre que a região e as funções têm essa simetria circular, é muito vantajoso usar coordenadas polares (r,\theta), definidas por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e o elemento de área se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando o porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno anel com espessura dr e extensão angular d\theta tem área aproximadamente (\text{comprimento do arco})\times(\text{espessura}) = (r\,d\theta)\,dr.
Portanto vamos:
  1. Determinar a projeção D das superfícies no plano xy encontrando onde elas se intersectam;
  2. Escrever z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}} em termos de r;
  3. Calcular \iint_{D}(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}})\,dA em polares.

Passo 3

Determinar a curva de interseção (projeção D) resolvendo 3-x^{2}-y^{2}=2x^{2}+2y^{2}.
Fazendo as contas:
3-x^{2}-y^{2}=2x^{2}+2y^{2}\quad\Longrightarrow\quad 3=3x^{2}+3y^{2}.
Dividindo por 3:
x^{2}+y^{2}=1.
Portanto a interseção é o círculo de raio 1 centrado na origem. Logo a projeção D é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Em coordenadas polares isso corresponde a 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Determinar qual superfície é a superior (maior z) dentro de D.
Calcule a diferença z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}} simbolicamente:
(3-x^{2}-y^{2})-(2x^{2}+2y^{2})=3-3(x^{2}+y^{2}).
Em termos de r (pois x^{2}+y^{2}=r^{2}):
\Delta z = 3-3r^{2}=3(1-r^{2}).
No centro ( r=0) temos \Delta z=3>0, e na fronteira ( r=1) \Delta z=0. Para 0\le r<1 temos \Delta z>0. Portanto a superfície superior é z=3-x^{2}-y^{2} e a inferior é z=2x^{2}+2y^{2} para todo o disco D. Isso confirma que a diferença que integraremos é 3-3r^{2}.

Passo 5

Escrever a integral do volume em coordenadas polares.
Usando a fórmula do Passo 2 e trocando para polares:
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}\bigr)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(3-3r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Aqui substituiu-se x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Note que o integrando fica (3-3r^{2})r=3r-3r^{3}.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{1}\bigl(3r-3r^{3}\bigr)\,dr =3\int_{0}^{1}r\,dr -3\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1}r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{1}\bigl(3r-3r^{3}\bigr)\,dr=3\cdot\frac{1}{2}-3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}.
Agora integre em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=\frac{3}{4}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{2}.

Passo 7

Comentários finais e dica prática para a prova.
  • Resultado: V=\dfrac{3\pi}{2}.
  • Dica rápida: sempre que as superfícies dependem de x^{2}+y^{2} e a projeção é um disco, as coordenadas polares quase sempre simplificam muito a conta porque o elemento de área traz um fator r que combina com potências de r do integrando.
  • Se preferir confirmar qualitativamente: a diferença de alturas vai de 3 no centro a 0 na borda, e o volume é a “média” dessa altura times a área do disco de raio 1; a integral fez exatamente essa soma contínua.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}

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