Calcule a seguinte integral:
integral d xx^2+2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxx^2+2x+5
O conteúdo aqui é integração de uma função racional cujo denominador é um polinômio de segundo grau sem raízes reais. Para resolver, vamos completar o quadrado e usar a fórmula
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(uar) + C

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
x^2+2x+5 = (x^2+2x+1)+4 = (x+1)^2 + 2^2

Passo 3

Fazemos a substituição simples
u = x+1, du = dx,
então a integral vira
integral dx(x+1)^2+2^2 = integral duu^2+2^2

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula padrão com a=2:
integral duu^2+2^2 = 12arctan!l(u2r) + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x+1. Logo, a solução final é
12arctan!l(x+12r) + C

Resposta

integral dxx^2+2x+5 = 12arctan!l(x+12r) + C

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