Calcule a seguinte integral:
onde
é o elipse
e
e
são dois números reais positivos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é a elipse centrada na origem dada por
com
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A curva
é um contorno fechado que envolve o ponto (origem), porque a elipse está centrada na origem. - A função integrando
tem uma singularidade em (divisão por zero). Fora desse ponto a função é inteira (analítica). - O enunciado não especifica a orientação de
; adota-se a orientação padrão positiva (contra-horária).
O que se pede: calcular o valor da integral de contorno
.
Passo 2
Identificar o tipo de singularidade e a estratégia de cálculo (sem usar jargões complicados demais).
- A singularidade em
vem do fator . Como é uma função inteira (analítica em todo ), a singularidade de em é uma singularidade isolada de ordem (um polo de ordem ). - Para integrar uma função meromorfa (analítica exceto em polos isolados) ao longo de uma curva fechada que envolve esses polos, uma ferramenta poderosa é usar a relação entre a integral e os coeficientes da expansão em série (resíduos) ou usar a fórmula de Cauchy para derivadas. Vou usar a fórmula de Cauchy para derivadas porque aqui o denominador é
e isso dá uma conta bem direta.
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula que será usada (Cauchy para derivadas), com didática:
- Seja
uma função analítica numa vizinhança de . Para todo inteiro vale a fórmula de Cauchy para derivadas:
onde
é uma curva simples fechada e positiva que envolve
.
- Explicando as peças:
-
é qualquer função sem singularidade em torno de . -
é a -ésima derivada de avaliada em . - O caso
é a fórmula usual de Cauchy: .
-
- No nosso problema o integrando tem a forma
com e , logo . Assim a fórmula aplica-se diretamente.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso concreto, calculando as derivadas necessárias:
- Tome
. Calcular a primeira derivada de :
- Avaliar essa derivada em
:
Passo 5
Usar a fórmula de Cauchy para obter a integral:
- Com
e , a fórmula dá
- Ou seja, a integral vale
.
Passo 6
Dar uma verificação alternativa curta usando a definição de resíduo para polo de ordem
(checa o mesmo resultado):
- Para um polo de ordem
em , o resíduo é
- Pela fórmula dos resíduos,
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Comentário final e intuição (motivacional):
- A integral é zero apesar de a função ter um polo de ordem
em , porque o coeficiente do termo (o resíduo) na expansão de Laurent é zero. Em linguagem simples: a parte que “contribui” para a integral (o termo ) não aparece aqui. - Isso não depende da forma da curva
(elipse, círculo, qualquer curva simples fechada) contanto que envolva a origem uma vez e seja percorrida no sentido positivo.
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