Calcule a seguinte integral:
I=\int_{C} \frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}} d z
onde C é o elipse
C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
e a e b são dois números reais positivos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
I=\int_{C}\frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}}\,dz,
onde C é a elipse centrada na origem dada por
C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a>0 e b>0. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva C é um contorno fechado que envolve o ponto z=0 (origem), porque a elipse está centrada na origem.
  • A função integrando \dfrac{e^{-z^{2}}}{z^{2}} tem uma singularidade em z=0 (divisão por zero). Fora desse ponto a função é inteira (analítica).
  • O enunciado não especifica a orientação de C; adota-se a orientação padrão positiva (contra-horária).
O que se pede: calcular o valor da integral de contorno I.

Passo 2

Identificar o tipo de singularidade e a estratégia de cálculo (sem usar jargões complicados demais).
  • A singularidade em z=0 vem do fator 1/z^{2}. Como e^{-z^{2}} é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}), a singularidade de \dfrac{e^{-z^{2}}}{z^{2}} em z=0 é uma singularidade isolada de ordem 2 (um polo de ordem 2).
  • Para integrar uma função meromorfa (analítica exceto em polos isolados) ao longo de uma curva fechada que envolve esses polos, uma ferramenta poderosa é usar a relação entre a integral e os coeficientes da expansão em série (resíduos) ou usar a fórmula de Cauchy para derivadas. Vou usar a fórmula de Cauchy para derivadas porque aqui o denominador é (z-0)^{2} e isso dá uma conta bem direta.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula que será usada (Cauchy para derivadas), com didática:
  • Seja g(z) uma função analítica numa vizinhança de z_{0}. Para todo inteiro n\ge 0 vale a fórmula de Cauchy para derivadas:
\int_{\Gamma}\frac{g(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz = \frac{2\pi i}{n!}\,g^{(n)}(z_{0}),
onde \Gamma é uma curva simples fechada e positiva que envolve z_{0}.
  • Explicando as peças:
    • g(z) é qualquer função sem singularidade em torno de z_{0}.
    • g^{(n)}(z_{0}) é a n-ésima derivada de g avaliada em z_{0}.
    • O caso n=0 é a fórmula usual de Cauchy: \int g(z)/(z-z_{0})\,dz = 2\pi i\,g(z_{0}).
  • No nosso problema o integrando tem a forma \dfrac{g(z)}{(z-0)^{2}} com g(z)=e^{-z^{2}} e n+1=2, logo n=1. Assim a fórmula aplica-se diretamente.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso concreto, calculando as derivadas necessárias:
  • Tome g(z)=e^{-z^{2}}. Calcular a primeira derivada de g:
g'(z)=\frac{d}{dz}e^{-z^{2}} = -2z\,e^{-z^{2}}.
  • Avaliar essa derivada em z=0:
g'(0) = -2\cdot 0 \cdot e^{0} = 0.

Passo 5

Usar a fórmula de Cauchy para obter a integral:
  • Com n=1 e g'(0)=0, a fórmula dá
\int_{C}\frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}}\,dz = \frac{2\pi i}{1!}\,g'(0) = 2\pi i\cdot 0 = 0.
  • Ou seja, a integral vale 0.

Passo 6

Dar uma verificação alternativa curta usando a definição de resíduo para polo de ordem 2 (checa o mesmo resultado):
  • Para um polo de ordem 2 em z=0, o resíduo é
\operatorname{Res}\bigg(\frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}},0\bigg)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\big(z^{2}\cdot \frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}}\big)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}e^{-z^{2}}=\lim_{z\to 0}(-2z\,e^{-z^{2}})=0.
  • Pela fórmula dos resíduos,
\int_{C}\frac{e^{-z^{2}}}{z^{2}}\,dz = 2\pi i\sum (\text{resíduos dentro de }C) = 2\pi i\cdot 0 = 0,í
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Comentário final e intuição (motivacional):
  • A integral é zero apesar de a função ter um polo de ordem 2 em 0, porque o coeficiente do termo 1/z (o resíduo) na expansão de Laurent é zero. Em linguagem simples: a parte que “contribui” para a integral (o termo 1/z) não aparece aqui.
  • Isso não depende da forma da curva C (elipse, círculo, qualquer curva simples fechada) contanto que C envolva a origem uma vez e seja percorrida no sentido positivo.

Resposta

0

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