Calcule a seguinte integral usando o Teorema dos Resíduos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações/condições dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Não há outros parâmetros numéricos além do
no denominador.
O que precisa ser encontrado:
- O valor numérico exato de
.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada de forma simples e motivadora):
- Transformar a integral real em parte imaginária de uma integral complexa envolvendo
, porque . - Integrar a função complexa apropriada num contorno no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos para relacionar a integral ao somatório das contribuições dos polos internos do contorno.
- Justificar por que a contribuição do arco de raio
tende a zero quando (uso do que costuma ser chamado de Lema de Jordan). - Extrair a parte imaginária e obter
.
Vou executar isto passo a passo, explicando cada conceito usado.
Passo 3
Escrever a integral como parte imaginária de uma integral com exponencial complexa.
Observe que, para
,
portanto
É conveniente trabalhar inicialmente com a integral no eixo real de
e depois tomar a parte imaginária.
Defino a função complexa
As singularidades (polos) de
são as raízes do denominador
, ou seja
. Destas,
está no semiplano superior e
no semiplano inferior.
Passo 4
Escolha do contorno e justificativa do termo de arco (Lema de Jordan, de modo intuitivo).
Considere o contorno
formado pelo segmento real de
a
mais o semi-círculo
de raio
no semiplano superior (orientação anti-horária). Pelo Teorema dos Resíduos,
Agora preciso mostrar que a integral sobre o arco
tende a zero quando
, assim a integral sobre o eixo real (
a
) é igual a
vezes a soma das residuais no semiplano superior.
Explicação intuitiva do porquê a integral no arco tende a zero:
- No arco do semiplano superior, escrevendo
com , tem-se
Para
afastado dos extremos
e
,
é positiva, então
decai exponencialmente quando
. A parte racional
tem ordem
quando
grande. Combinando a exponencial decrescente com a ordem
da parte racional, a contribuição total sobre o arco tende a zero quando
. Este é o conteúdo do Lema de Jordan aplicado ao caso
no semiplano superior (a constante na exponencial é positiva: aqui
em
), então a integral sobre
tende a zero.
Portanto, no limite
,
Passo 5
Calcular a(s) resíduo(s) no semiplano superior.
Há apenas um polo no semiplano superior:
. É um polo simples (o denominador tem fator
simples). Para um polo simples, a fórmula do resíduo é
Compute:
Substituindo
:
Note que usei
(porque
) e cancelei
em numerador e denominador.
Passo 6
Aplicar o Teorema dos Resíduos e extrair a parte imaginária.
Pelo Teorema dos Resíduos, como a integral sobre o arco tende a zero,
Agora escrevo a integral do lado esquerdo separando parte real e imaginária. Para
real,
- A função
é ímpar (produto de ímpar e par, dividido por par), portanto sua integral de a é zero. - A função
é par (produto de ímpar com ímpar dá função par, dividida por par continua sendo par), logo
Portanto, tomando a parte imaginária da igualdade
temos
Mas a parte imaginária do lado esquerdo é exatamente
. Assim