Calcule a seguinte integral usando o Teorema dos Resíduos:
I=\int_{0}^{\infty} \frac{x \sin (x)}{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{0}^{\infty} \frac{x\sin(x)}{x^{2}+9}\,dx.
Informações/condições dadas:
  • O integrando é \dfrac{x\sin(x)}{x^{2}+9}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty).
  • Não há outros parâmetros numéricos além do 9 no denominador.
O que precisa ser encontrado:
  • O valor numérico exato de I.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicada de forma simples e motivadora):
  • Transformar a integral real em parte imaginária de uma integral complexa envolvendo e^{ix}, porque \sin(x)=\Im(e^{ix}).
  • Integrar a função complexa apropriada num contorno no semiplano superior e aplicar o Teorema dos Resíduos para relacionar a integral ao somatório das contribuições dos polos internos do contorno.
  • Justificar por que a contribuição do arco de raio R tende a zero quando R\to\infty (uso do que costuma ser chamado de Lema de Jordan).
  • Extrair a parte imaginária e obter I.
Vou executar isto passo a passo, explicando cada conceito usado.

Passo 3

Escrever a integral como parte imaginária de uma integral com exponencial complexa.
Observe que, para x\ge 0,
\sin(x)=\Im\big(e^{ix}\big),
portanto
I=\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{x^{2}+9}\,dx=\Im\left(\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{x^{2}+9}\,dx\right).
É conveniente trabalhar inicialmente com a integral no eixo real de \dfrac{z e^{iz}}{z^{2}+9} e depois tomar a parte imaginária.
Defino a função complexa
f(z)=\frac{z e^{iz}}{z^{2}+9}.
As singularidades (polos) de f são as raízes do denominador z^{2}+9=0, ou seja z=\pm 3i. Destas, z=3i está no semiplano superior e z=-3i no semiplano inferior.

Passo 4

Escolha do contorno e justificativa do termo de arco (Lema de Jordan, de modo intuitivo).
Considere o contorno \Gamma_R formado pelo segmento real de -R a R mais o semi-círculo C_R de raio R no semiplano superior (orientação anti-horária). Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\text{pólos no semiplano superior}} \operatorname{Res}(f,\text{polo}).ó
Agora preciso mostrar que a integral sobre o arco C_R tende a zero quando R\to\infty, assim a integral sobre o eixo real ( -\infty a +\infty) é igual a 2\pi i vezes a soma das residuais no semiplano superior.
Explicação intuitiva do porquê a integral no arco tende a zero:
  • No arco do semiplano superior, escrevendo z=R e^{i\theta} com \theta\in[0,\pi], tem-se
|e^{iz}| = |e^{iR(\cos\theta + i\sin\theta)}| = e^{-R\sin\theta}.
Para \theta afastado dos extremos 0 e \pi, \sin\theta é positiva, então e^{-R\sin\theta} decai exponencialmente quando R\to\infty. A parte racional \dfrac{z}{z^{2}+9} tem ordem O(1/R) quando R grande. Combinando a exponencial decrescente com a ordem O(1/R) da parte racional, a contribuição total sobre o arco tende a zero quando R\to\infty. Este é o conteúdo do Lema de Jordan aplicado ao caso e^{iz} no semiplano superior (a constante na exponencial é positiva: aqui +1 em e^{i\cdot 1\cdot z}), então a integral sobre C_R tende a zero.
Portanto, no limite R\to\infty,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\text{pólos no semiplano superior}} \operatorname{Res}(f,\text{polo}).ó

Passo 5

Calcular a(s) resíduo(s) no semiplano superior.
Há apenas um polo no semiplano superior: z=3i. É um polo simples (o denominador tem fator (z-3i) simples). Para um polo simples, a fórmula do resíduo é
\operatorname{Res}\big(f,3i\big)=\lim_{z\to 3i} (z-3i)f(z).
Compute:
\operatorname{Res}\big(f,3i\big)=\lim_{z\to 3i} (z-3i)\frac{z e^{iz}}{(z-3i)(z+3i)} = \lim_{z\to 3i}\frac{z e^{iz}}{z+3i}.
Substituindo z=3i:
\operatorname{Res}\big(f,3i\big)=\frac{3i \, e^{i(3i)}}{3i+3i}=\frac{3i \, e^{-3}}{6i}=\frac{1}{2}e^{-3}.
Note que usei e^{i(3i)}=e^{-3} (porque i\cdot 3i = -3) e cancelei i em numerador e denominador.

Passo 6

Aplicar o Teorema dos Resíduos e extrair a parte imaginária.
Pelo Teorema dos Resíduos, como a integral sobre o arco tende a zero,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{x^{2}+9}\,dx = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\big(f,3i\big) = 2\pi i\cdot \frac{1}{2}e^{-3} = \pi i e^{-3}.
Agora escrevo a integral do lado esquerdo separando parte real e imaginária. Para x real,
\frac{x e^{ix}}{x^{2}+9} = \frac{x\cos x}{x^{2}+9} + i\frac{x\sin x}{x^{2}+9}.
  • A função \dfrac{x\cos x}{x^{2}+9} é ímpar (produto de x ímpar e \cos x par, dividido por x^{2}+9 par), portanto sua integral de -\infty a +\infty é zero.
  • A função \dfrac{x\sin x}{x^{2}+9} é par (produto de x ímpar com \sin x ímpar dá função par, dividida por par continua sendo par), logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{x^{2}+9}\,dx = 2\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{x^{2}+9}\,dx = 2I.
Portanto, tomando a parte imaginária da igualdade
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{x^{2}+9}\,dx = \pi i e^{-3},
temos
\Im\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x e^{ix}}{x^{2}+9}\,dx\right) = \Im(\pi i e^{-3}) = \pi e^{-3}.
Mas a parte imaginária do lado esquerdo é exatamente \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x\sin x}{x^{2}+9}\,dx = 2I. Assim
2I=\pi e^{-3}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{\pi}{2}e^{-3}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}e^{-3}

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