\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+2 x+2}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\ln \left(1+x+\sqrt{x^{2}+2 x+2}\right)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}.
  • O objetivo é encontrar uma expressão fechada para uma antiderivada (ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: completar o quadrado no radicando para simplificar a expressão. Para x^{2}+2x+2 procedemos assim:
x^{2}+2x+2 = (x^{2}+2x+1)+1 = (x+1)^{2}+1.
Explicando: completar o quadrado consiste em escrever x^{2}+2x como (x+1)^{2}-1, daí somamos o +2 e obtemos (x+1)^{2}+1. Isso deixa a raiz numa forma padrão \sqrt{(\text{algo})^{2}+1}, que é bem conhecida e fácil de integrar com substituições simples.

Passo 3

Faça a substituição direta que aproveita o quadrado completado. Defina
u = x+1.
Então du = dx (pois derivada de x+1 é 1). A integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} = \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}}.
Aqui expliquei as variáveis: u é a nova variável de integração, igual a x+1; du é o diferencial correspondente (igual a dx).

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}}. Uma forma didática e direta é usar a substituição hiperbólica
u = \operatorname{sinh} t,
onde \operatorname{sinh} é a função seno hiperbólico. Para entender por que: \operatorname{sinh}^{2}t+1=\operatorname{cosh}^{2}t, então a raiz simplifica bem. Diferenciando, obtemos du = \operatorname{cosh} t\,dt e
\sqrt{u^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=\operatorname{cosh} t.
Substituindo na integral:
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}} = \int \frac{\operatorname{cosh} t\,dt}{\operatorname{cosh} t} = \int dt = t + C.
Mas t foi definido por u=\operatorname{sinh} t, logo t=\operatorname{arsinh}(u) (a função inversa do \operatorname{sinh}). Portanto
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+1}} = \operatorname{arsinh}(u) + C.

Passo 5

Transformar a resposta envolvendo \operatorname{arsinh} em logaritmo, que é a forma pedida no enunciado. Há uma identidade padrão:
\operatorname{arsinh}(u)=\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr).
Breve justificativa dessa identidade (sem tecnicismos): se t=\operatorname{arsinh}(u) então \operatorname{sinh} t=u. Escrevendo \operatorname{sinh} t=(e^{t}-e^{-t})/2 e resolvendo para e^{t} e^{t}=u+\sqrt{u^{2}+1}, daí t=\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr). Observe também que u+\sqrt{u^{2}+1}>0 para todo u, portanto não há problema de valor absoluto no logaritmo.

Passo 6

Volte à variável original x. Lembrando que u=x+1, substituímos na expressão em logaritmo:
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} = \ln\!\bigl(x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+1}\bigr) + C.
Reescrevendo (x+1)^{2}+1 como x^{2}+2x+2 (a forma original do enunciado), obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2x+2}} = \ln\!\bigl(1+x+\sqrt{x^{2}+2x+2}\bigr) + C.
Pequena nota prática: às vezes essa primitiva é também escrita como \operatorname{arsinh}(x+1)+C; as duas formas são equivalentes.

Resposta

\ln\!\bigl(1+x+\sqrt{x^{2}+2x+2}\bigr)+C

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