resp.
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O objetivo é encontrar uma expressão fechada para uma antiderivada (ou seja, uma função
tal que ), mais uma constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar o quadrado no radicando para simplificar a expressão. Para
procedemos assim:
Explicando: completar o quadrado consiste em escrever
como
, daí somamos o
e obtemos
. Isso deixa a raiz numa forma padrão
, que é bem conhecida e fácil de integrar com substituições simples.
Passo 3
Faça a substituição direta que aproveita o quadrado completado. Defina
Então
(pois derivada de
é
). A integral fica
Aqui expliquei as variáveis:
é a nova variável de integração, igual a
;
é o diferencial correspondente (igual a
).
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Uma forma didática e direta é usar a substituição hiperbólica
onde
é a função seno hiperbólico. Para entender por que:
, então a raiz simplifica bem. Diferenciando, obtemos
e
Substituindo na integral:
Mas
foi definido por
, logo
(a função inversa do
). Portanto
Passo 5
Transformar a resposta envolvendo
em logaritmo, que é a forma pedida no enunciado. Há uma identidade padrão:
Breve justificativa dessa identidade (sem tecnicismos): se
então
. Escrevendo
e resolvendo para
dá
, daí
. Observe também que
para todo
, portanto não há problema de valor absoluto no logaritmo.
Passo 6
Volte à variável original
. Lembrando que
, substituímos na expressão em logaritmo:
Reescrevendo
como
(a forma original do enunciado), obtemos
Pequena nota prática: às vezes essa primitiva é também escrita como
; as duas formas são equivalentes.