Calcule a seguinte integral:
integral x^2+4 x+1(x-1)(x+1)(x+3) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral
integral x^2+4 x+1(x-1)(x+1)(x+3) , dx
Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Precisamos quebrar a expressão dessa integral em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
x^2+4 x+1(x-1)(x+1)(x+3) = Ax-1 + Bx+1 + Cx+3
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(x+1)(x+3):
x^2+4x+1 = A(x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x+1)

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
A(x+1)(x+3) = A(x^2 + 4x + 3)
B(x-1)(x+3) = B(x^2 + 2x - 3)
C(x-1)(x+1) = C(x^2 - 1)
Então, a equação fica:
A(x^2 + 4x + 3) + B(x^2 + 2x - 3) + C(x^2 - 1) = x^2 + 4x + 1

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(A + B + C)x^2 + (4A + 2B)x + (3A - 3B - C) = x^2 + 4x + 1
Isso nos dá um sistema de equações:
A + B + C = 1 & (coeficiente de x^2) 4A + 2B = 4 & (coeficiente de x) 3A - 3B - C = 1 & (termos constantes)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
4A + 2B = 4 Rightarrow 2A + B = 2 (Equação 2.1) çã
Da primeira equação:
A + B + C = 1 (Equação 1) çã
E da terceira equação:
3A - 3B - C = 1 (Equação 3) çã

Passo 7

Da Equação 2.1, isolamos B:
B = 2 - 2A
Substituímos esse valor na Equação 1:
A + (2 - 2A) + C = 1 Rightarrow -A + 2 + C = 1 Rightarrow -A + C = -1 Rightarrow C = A - 1

Passo 8

Agora, substituímos B = 2 - 2A e C = A - 1 na Equação 3:
3A - 3(2 - 2A) - (A - 1) = 1
Simplificando:
3A - 6 + 6A - A + 1 = 1 Rightarrow 8A - 5 = 1 Rightarrow 8A = 6 Rightarrow A = 68 = 34

Passo 9

Com o valor de A, encontramos B e C:
B = 2 - 2A = 2 - 2 times 34 = 2 - 32 = 12
C = A - 1 = 34 - 1 = -14

Passo 10

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos na decomposição:
x^2+4x+1(x-1)(x+1)(x+3) = 34x-1 + 12x+1 + -14x+3

Passo 11

Simplificando as frações:
= 34(x - 1) + 12(x + 1) - 14(x + 3)

Passo 12

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x^2+4x+1(x-1)(x+1)(x+3) , dx = integral ( 34(x - 1) + 12(x + 1) - 14(x + 3) ) dx
= 34 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| - 14 ln|x + 3| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
34 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| - 14 ln|x + 3| + C

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