Calcule a seguinte integral:
integral 5 x-3(x+1)(x-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral 5x - 3(x + 1)(x - 3) , dx. Esse exercício faz parte do estudo de integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração 5x - 3(x + 1)(x - 3) em termos de frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como Ax + 1 + Bx - 3, onde A e B são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x + 1)(x - 3) para eliminar os denominadores:
5x - 3 = A(x - 3) + B(x + 1)

Passo 4

Agora, expandimos os termos no lado direito:
5x - 3 = A x - 3A + B x + B
Juntando os termos semelhantes:
5x - 3 = (A + B)x + (-3A + B)

Passo 5

Para que a igualdade valha para todos os valores de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
A + B = 5 (coeficiente de x)
-3A + B = -3 (termo constante)

Passo 6

Agora, resolvemos o sistema de equações:
A + B = 5
-3A + B = -3
Subtraindo a primeira equação da segunda:
-4A = -8 implies A = 2
Substituindo A = 2 na primeira equação:
2 + B = 5 implies B = 3

Passo 7

Com os valores de A e B, a fração original fica:
5x - 3(x + 1)(x - 3) = 2x + 1 + 3x - 3

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x + 1 , dx + integral 3x - 3 , dx
Sabendo que integral 1x , dx = ln|x| + C, aplicamos isso a cada termo.

Passo 9

Calculando as integrais:
2 ln|x + 1| + 3 ln|x - 3| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 2 ln|x + 1| + 3 ln|x - 3| + C.

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