Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse exercício faz parte do estudo de integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
em termos de frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como
, onde
e
são constantes que vamos descobrir.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos os termos no lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Para que a igualdade valha para todos os valores de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
, a fração original fica:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabendo que
, aplicamos isso a cada termo.
Passo 9
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.