Calcule o seguinte limite:
lim x 1 x^2-1x^2+2 x-3

Passo 1

Temos o limite quando x se aproxima de 1 da expressão x^2-1x^2+2x-3. Este é um caso de limite de função racional que, ao substituir x=1, gera uma indeterminação 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação.

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o numerador e o denominador. Lembre que x^2-1 é uma diferença de quadrados e que o denominador é um polinômio do segundo grau que também pode ser fatorado:
x^2-1=(x-1)(x+1)
x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

Passo 3

Como há um fator comum (x-1) no numerador e no denominador, podemos cancelá-lo, desde que xneq1. Assim, para x diferente de 1, a função se reduz a:
x^2-1x^2+2x-3=(x-1)(x+1)(x-1)(x+3)=x+1x+3

Passo 4

Depois de simplificar, obtemos uma função contínua em x=1. Pela propriedade de limites de funções contínuas, podemos avaliar diretamente em x=1:
limxto1x+1x+3=1+11+3=24=12

Resposta

\tfrac12

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