Sejam
e
.
Calcule
, usando a definição.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras diferentes, dependendo se $ (x, y) $ é igual a $ (0,0) $ ou não. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional de $ f $ no ponto $ (0,0) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = (1,1) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve limites e o comportamento da função em determinadas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função $ f $ em um ponto $ (a,b) $ na direção de um vetor $ \mathbf{u} = (u_1, u_2) $ é definida como:
Isso mede a taxa de variação da função $ f $ no ponto $ (a,b) $ na direção de $ \mathbf{u} $.
Passo 3
No nosso caso, queremos calcular $ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(0,0) $, então vamos aplicar a definição com $ (a,b) = (0,0) $ e $ \mathbf{u} = (1,1) $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar $ f(h, h) $. Como $ (h, h) \neq (0,0) $ para todo $ h \neq 0 $, usamos a primeira parte da definição de $ f $:
E sabemos que $ f(0,0) = 0 $.
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada direcional: