Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico da função e^{x} no intervalo [0,1]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico da função \,e^{x}\, no intervalo [0,1].
Informações dadas:
\text{função }y=e^{x},\qquad \text{intervalo }x\in[0,1].çã
Objetivo: calcular o comprimento do arco do gráfico de \,y=e^{x}\, para x variando de 0 até 1.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco (uma breve aula): para uma função diferenciável \,y=f(x)\, no intervalo [a,b], o comprimento do arco é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: f'(x) é a derivada de f (a inclinação da reta tangente). A expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem da razão pitagórica entre o pequeno deslocamento horizontal dx e o deslocamento vertical dy=f'(x)\,dx; assim o comprimento do pequeno segmento é \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx. Na prova, memorize essa fórmula e aplique direto.

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa função: \,f(x)=e^{x}\, e portanto
f'(x)=e^{x}.
O comprimento é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx.

Passo 4

Substituição para simplificar a integral (dica padrão para exponencial): faça
u=e^{x}\quad\Rightarrow\quad du=e^{x}\,dx=u\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{u}.
Quando x=0 temos u=e^{0}=1. Quando x=1 temos u=e^{1}=e. Substituindo na integral,
L=\int_{u=1}^{u=e}\sqrt{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{u}=\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du.

Passo 5

Integração usando substituição hiperbólica (uma técnica conveniente): para integrar \displaystyle \int\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du é útil usar a substituição
u=\operatorname{sinh} t.
Explicação curta sobre funções hiperbólicas: \operatorname{sinh} t e \operatorname{cosh} t satisfazem \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, e \sqrt{1+u^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t. As derivações:
du=\operatorname{cosh} t\,dt.
Com isso a integral vira (troca também dos limites: quando u=1 então t=\operatorname{arsinh}(1)=\ln(1+\sqrt{2}); quando u=e então t=\operatorname{arsinh}(e)=\ln(e+\sqrt{1+e^{2}})):
\int\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du=\int\frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t}\cdot\operatorname{cosh} t\,dt=\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.

Passo 6

Simplificação usando uma identidade hiperbólica: \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t. Assim
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1+\operatorname{sinh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t.
Portanto a integral se separa em duas integrais fáceis:
\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt=\int\csch t\,dt+\int\operatorname{sinh} t\,dt.
Conhecendo primitivais:
\int\operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t,
e a primitiva de \csch t é
\int\csch t\,dt=\ln\bigl(\operatorname{tanh}\frac{t}{2}\bigr)+C.
Assim uma primitiva comum é
\operatorname{cosh} t+\ln\bigl(\operatorname{tanh}\frac{t}{2}\bigr)+C.

Passo 7

Voltar para a variável u. Lembrando \operatorname{cosh} t=\sqrt{1+u^{2}} e a identidade
\operatorname{tanh}\frac{t}{2}=\frac{\operatorname{sinh} t}{1+\operatorname{cosh} t}=\frac{u}{1+\sqrt{1+u^{2}}},
temos uma antiderivada em u:
F(u)=\sqrt{1+u^{2}}+\ln\!\left(\frac{u}{1+\sqrt{1+u^{2}}}\right)+C.
Agora avaliamos nos limites u=1 a u=e:
L=F(e)-F(1).
Escrevendo explicitamente,
L=\Biggl(\sqrt{1+e^{2}}+\ln\!\left(\frac{e}{1+\sqrt{1+e^{2}}}\right)\Biggr) -\Biggl(\sqrt{1+1^{2}}+\ln\!\left(\frac{1}{1+\sqrt{1+1^{2}}}\right)\Biggr).

Passo 8

Simplificação final da expressão logarítmica: note que \sqrt{1+1^{2}}=\sqrt{2}. Agrupando os logaritmos em um só termo:
L=\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2}+\ln\!\left(\frac{e\,(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{1+e^{2}}}\right).

Resposta

\displaystyle \sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2}+\ln\!\left(\dfrac{e\,(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{1+e^{2}}}\right)

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