Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico da função
no intervalo [0,1]
arco do gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico da função
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Objetivo: calcular o comprimento do arco do gráfico de
para
variando de
até
.
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco (uma breve aula): para uma função diferenciável
no intervalo
, o comprimento do arco é dado por
Explicando:
é a derivada de
(a inclinação da reta tangente). A expressão
vem da razão pitagórica entre o pequeno deslocamento horizontal
e o deslocamento vertical
; assim o comprimento do pequeno segmento é
. Na prova, memorize essa fórmula e aplique direto.
Passo 3
Aplicando a fórmula à nossa função:
e portanto
O comprimento é
Passo 4
Substituição para simplificar a integral (dica padrão para exponencial): faça
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral,
Passo 5
Integração usando substituição hiperbólica (uma técnica conveniente): para integrar
é útil usar a substituição
Explicação curta sobre funções hiperbólicas:
e
satisfazem
, e
. As derivações:
Com isso a integral vira (troca também dos limites: quando
então
; quando
então
):
Passo 6
Simplificação usando uma identidade hiperbólica:
. Assim
Portanto a integral se separa em duas integrais fáceis:
Conhecendo primitivais:
e a primitiva de
é
Assim uma primitiva comum é
Passo 7
Voltar para a variável
. Lembrando
e a identidade
temos uma antiderivada em
:
Agora avaliamos nos limites
a
:
Escrevendo explicitamente,
Passo 8
Simplificação final da expressão logarítmica: note que
. Agrupando os logaritmos em um só termo: