Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico de f(x)=x^{\frac{3}{2}} no intervalo [0,1]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento do arco do gráfico de f no intervalo dado. Mais precisamente:
  • Função dada: f(x)=x^{\frac{3}{2}}.
  • Intervalo: [0,1].
  • Pergunta: qual é o comprimento do arco do gráfico de y=f(x) quando x varia de 0 até 1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;f(x)=x^{\frac{3}{2}} em [0,1]. Não há outras restrições ou parâmetros.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a fórmula padrão para comprimento de arco de uma curva dada por y=f(x) sobre [a,b]):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • L é o comprimento do arco.
  • a e b são os extremos do intervalo (aqui a=0, b=1).
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x.
  • A expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} mede, em cada ponto, o fator “alongamento” da curva em relação ao eixo x; integrar isso dá o comprimento total.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. Regra que usamos: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. (Exemplo rápido: se f(x)=x^{2}, então f'(x)=2x.)
Aplicando à nossa função \;f(x)=x^{\frac{3}{2}}:
f'(x)=\frac{3}{2}\,x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}\,x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Passo 4

Calculamos agora \bigl(f'(x)\bigr)^{2}:
\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}=\frac{9}{4}\,x.
Substituindo na raiz da fórmula do comprimento:
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}x}.
Para simplificar a integral, escrevemos a raiz de forma factorizada:
\sqrt{1+\frac{9}{4}x}=\sqrt{\frac{4+9x}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4+9x}.

Passo 5

Montamos a integral para o comprimento L usando a=0 e b=1:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\sqrt{4+9x}\;dx.
Posso tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
L=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{4+9x}\;dx.

Passo 6

Agora faremos uma substituição para integrar facilmente. Tomamos a substituição linear
u=4+9x.
Calculamos du e ajustamos os limites:
du=9\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{9}.
Quando x=0, u=4+9\cdot 0=4.
Quando x=1, u=4+9\cdot 1=13.

Passo 7

Substituindo na integral:
L=\frac{1}{2}\int_{x=0}^{x=1}\sqrt{4+9x}\;dx =\frac{1}{2}\int_{u=4}^{u=13}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}.
Colocando as constantes fora da integral:
L=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}\int_{4}^{13}u^{\frac{1}{2}}\;du=\frac{1}{18}\int_{4}^{13}u^{\frac{1}{2}}\;du.

Passo 8

Integramos u^{\frac{1}{2}} usando a regra da potência para integrais: \int u^{p}\,du=\dfrac{u^{p+1}}{p+1} para p\neq -1.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{\frac{1}{2}}\;du=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}.
Aplicando isso na expressão para L:
L=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\;u^{\frac{3}{2}}\Big|_{4}^{13}.

Passo 9

Multiplicamos as constantes \dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{27}. Então
L=\frac{1}{27}\;u^{\frac{3}{2}}\Big|_{4}^{13}=\frac{1}{27}\left(13^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right).
Calculamos 4^{\frac{3}{2}} de forma direta:
4^{\frac{3}{2}}=\bigl(\sqrt{4}\bigr)^{3}=2^{3}=8.
Também podemos escrever 13^{\frac{3}{2}} como 13\sqrt{13}.
Portanto a expressão final simplificada (exata) é determinada e será apresentada na seção de resposta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}\bigl(13^{\frac{3}{2}}-8\bigr)=\frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr)

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