Calcule os seguintes comprimentos de arco:
arco do gráfico de
no intervalo [0,1]
arco do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento do arco do gráfico de
no intervalo dado. Mais precisamente:
- Função dada:
. - Intervalo:
. - Pergunta: qual é o comprimento do arco do gráfico de
quando varia de até .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
em
. Não há outras restrições ou parâmetros.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a fórmula padrão para comprimento de arco de uma curva dada por
sobre
):
Explicando a fórmula de forma simples:
-
é o comprimento do arco. -
e são os extremos do intervalo (aqui , ). -
é a derivada de em relação a . - A expressão
mede, em cada ponto, o fator “alongamento” da curva em relação ao eixo ; integrar isso dá o comprimento total.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Regra que usamos: se
então
. (Exemplo rápido: se
, então
.)
Aplicando à nossa função
:
Passo 4
Calculamos agora
:
Substituindo na raiz da fórmula do comprimento:
Para simplificar a integral, escrevemos a raiz de forma factorizada:
Passo 5
Montamos a integral para o comprimento
usando
e
:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora faremos uma substituição para integrar facilmente. Tomamos a substituição linear
Calculamos
e ajustamos os limites:
Quando
,
.
Quando ,
.
Quando
Passo 7
Substituindo na integral:
Colocando as constantes fora da integral:
Passo 8
Integramos
usando a regra da potência para integrais:
para
.
Aqui
, então
Aplicando isso na expressão para
:
Passo 9
Multiplicamos as constantes
. Então
Calculamos
de forma direta:
Também podemos escrever
como
.
Portanto a expressão final simplificada (exata) é determinada e será apresentada na seção de resposta.