Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
f(t)=\operatorname{rect}(t) * \cos (\pi t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
f(t)=\operatorname{rect}(t)*\cos(\pi t).
Informações dadas (e escolhas que vou assumir, porque há pequenas convenções possíveis):
  • A função \operatorname{rect}(t)\) será a retângulo padrão de largura \(1\) centrado em zero, isto é, \[\operatorname{rect}(t)=\begin{cases}1,&|t|\le\frac{1}{2},\\[4pt]0,&|t|>\frac{1}{2}.\end{cases}
  • Queremos a função resultante em função de t\]. - Vou usar a Transformada de Fourier com a convenção de frequência angular \(\omega:
\mathcal{F}\{x(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega t}\,dt,
e a transformada inversa
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.]

Passo 2

Por que usar Transformada de Fourier? Regra importante (teorema da convolução):
\mathcal{F}\{x*y\}(\omega)=\mathcal{F}\{x\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{y\}(\omega).
Ou seja, convolução no domínio do tempo vira multiplicação no domínio da frequência — geralmente mais fácil. Vou calcular as transformadas de \operatorname{rect}(t) e de \cos(\pi t), multiplicar no domínio \omega e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 3

Transformada de \operatorname{rect}(t). Definição:
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(\omega)=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i\omega t}\,dt.
Calculo essa integral passo a passo:
\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i\omega t}\,dt = \left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-1/2}^{t=1/2} = \frac{e^{-i\omega/2}-e^{i\omega/2}}{-i\omega}.
Usando e^{-i\theta}-e^{i\theta}=-2i\sin\theta obtemos
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(\omega)=\frac{-2i\sin(\omega/2)}{-i\omega}=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}.
É comum escrever isso como uma função sinc; aqui vamos manter na forma explícita
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(\omega)=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}.
(Observação: essa expressão vale no ponto \omega=0 por limite, dando valor 1.)

Passo 4

Transformada de \cos(\pi t). Primeiro escrevo \cos(\pi t) em termos de exponenciais:
\cos(\pi t)=\frac{e^{i\pi t}+e^{-i\pi t}}{2}.
A transformada de e^{i\omega_0 t} é 2\pi\delta(\omega-\omega_0) (na convenção usada). Portanto,
\mathcal{F}\{\cos(\pi t)\}(\omega)=\frac{1}{2}\big(2\pi\delta(\omega-\pi)+2\pi\delta(\omega+\pi)\big) =\pi\big(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\big).

Passo 5

Multiplico as transformadas (teorema da convolução):
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot)\}(\omega) =\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\cdot \pi\big(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\big).

Passo 6

Faço a transformada inversa para voltar ao tempo:
(\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot))(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\pi\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\big(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi)\big)\right]e^{i\omega t}\,d\omega.
As deltas “amostram” a função em \omega=\pm\pi. Aplicando a propriedade do delta obtemos
(\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot))(t) =\frac{\pi}{2\pi}\left[\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}e^{i\pi t}+\frac{\sin(-\pi/2)}{-\pi/2}e^{-i\pi t}\right].
Agora avalio os sines:
\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{1}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}, \qquad \frac{\sin(-\pi/2)}{-\pi/2}=\frac{-1}{-\,\pi/2}=\frac{2}{\pi}.
Substituindo:
(\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot))(t)=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{\pi}e^{i\pi t}+\frac{2}{\pi}e^{-i\pi t}\right] =\frac{1}{\pi}\big(e^{i\pi t}+e^{-i\pi t}\big).
Usando e^{i\pi t}+e^{-i\pi t}=2\cos(\pi t), temos
(\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot))(t)=\frac{2}{\pi}\cos(\pi t).

Passo 7

(Comentário de verificação, curto e prático) Dá para checar direto no tempo:
\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi(t-\tau))\,d\tau =\cos(\pi t)\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi\tau)\,d\tau =\cos(\pi t)\cdot\frac{2}{\pi},
porque a parte com \sin(\pi t) desaparece pela simetria. Resultado coincidente: \dfrac{2}{\pi}\cos(\pi t). Isso é uma boa checagem — beleza!

Resposta

\displaystyle (\operatorname{rect}*\cos(\pi\cdot))(t)=\frac{2}{\pi}\cos(\pi t)

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