Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução
Informações dadas (e escolhas que vou assumir, porque há pequenas convenções possíveis):
- A função
- Queremos a função resultante em função de :
e a transformada inversa
Passo 2
Por que usar Transformada de Fourier? Regra importante (teorema da convolução):
Ou seja, convolução no domínio do tempo vira multiplicação no domínio da frequência — geralmente mais fácil. Vou calcular as transformadas de
e de
, multiplicar no domínio
e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 3
Transformada de
. Definição:
Calculo essa integral passo a passo:
Usando
obtemos
É comum escrever isso como uma função sinc; aqui vamos manter na forma explícita
(Observação: essa expressão vale no ponto
por limite, dando valor
.)
Passo 4
Transformada de
. Primeiro escrevo
em termos de exponenciais:
A transformada de
é
(na convenção usada). Portanto,
Passo 5
Multiplico as transformadas (teorema da convolução):
Passo 6
Faço a transformada inversa para voltar ao tempo:
As deltas “amostram” a função em
. Aplicando a propriedade do delta obtemos
Agora avalio os sines:
Substituindo:
Usando
, temos
Passo 7
(Comentário de verificação, curto e prático) Dá para checar direto no tempo:
porque a parte com
desaparece pela simetria. Resultado coincidente:
. Isso é uma boa checagem — beleza!