Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
f(t)=\operatorname{rect}(t) * \cos (2 \pi t)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a convolução
f(t)=\operatorname{rect}(t) * \cos(2\pi t)
para todo [t).
Informações dadas e convenções que vou usar (isto é parte do enunciado implícito, então explico para ficar claro):
\operatorname{rect}(t)= \begin{cases} 1, & |t|\le \tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & |t|>\tfrac{1}{2}, \end{cases}
ou seja, é o retângulo de largura (1] centrado em zero. Vou usar a Transformada de Fourier com a convenção
\mathcal{F}\{x(t)\}=X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2\pi f t}\,dt,
e a inversa
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{i2\pi f t}\,df.]

Passo 2

Lema importante que vamos usar (teorema da convolução):
\mathcal{F}\{x*y\}(f)=\mathcal{F}\{x\}(f)\cdot\mathcal{F}\{y\}(f).
Isto significa que a transformada da convolução é o produto ponto-a-ponto das transformadas. Então o plano é: calcular a transformada de \operatorname{rect}(t) e de \cos(2\pi t), multiplicar, e aplicar a transformada inversa.

Passo 3

Calcular \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}.
Pela definição da transformada,
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(f)=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i2\pi f t}\,dt.
Essa integral é elementar: é a diferença de exponenciais sobre um intervalo simétrico. Fazendo a conta,
\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i2\pi f t}\,dt = \left.\frac{e^{-i2\pi f t}}{-i2\pi f}\right|_{t=-1/2}^{1/2} = \frac{e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}}{-i2\pi f} = \frac{\sin(\pi f)}{\pi f}.
Definimos a função sinc normalizada como
\operatorname{sinc}(f)=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}.
Portanto
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(f)=\operatorname{sinc}(f).
Observação: \operatorname{sinc}(f) é função par, isto é \operatorname{sinc}(-f)=\operatorname{sinc}(f).

Passo 4

Calcular \mathcal{F}\{\cos(2\pi t)\}.
Escrevemos a cosseno como soma de exponenciais:
\cos(2\pi t)=\frac{e^{i2\pi t}+e^{-i2\pi t}}{2}.
Usando a propriedade \mathcal{F}\{e^{i2\pi f_0 t}\}=\delta(f-f_0) (onde \delta é a delta de Dirac), obtemos
\mathcal{F}\{\cos(2\pi t)\}(f)=\frac{1}{2}\big[\delta(f-1)+\delta(f+1)\big].
Isso quer dizer: a energia espectral da cosseno está concentrada nas frequências f=\pm 1.

Passo 5

Aplicar o teorema da convolução: produto das transformadas.
Seja Y(f)=\mathcal{F}\{f(t)\}(f). Então
Y(f)=\operatorname{sinc}(f)\cdot\frac{1}{2}\big[\delta(f-1)+\delta(f+1)\big].
Multiplicando pela delta, que “amostra” a função, obtemos
Y(f)=\frac{1}{2}\big[\operatorname{sinc}(1)\,\delta(f-1)+\operatorname{sinc}(-1)\,\delta(f+1)\big].
Como \operatorname{sinc} é par, \operatorname{sinc}(-1)=\operatorname{sinc}(1). Logo
Y(f)=\frac{\operatorname{sinc}(1)}{2}\big[\delta(f-1)+\delta(f+1)\big].

Passo 6

Aplicar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo.
Usando a inversa,
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} Y(f)e^{i2\pi f t}\,df = \frac{\operatorname{sinc}(1)}{2}\big[e^{i2\pi (1)t}+e^{i2\pi (-1)t}\big] = \operatorname{sinc}(1)\cos(2\pi t).
Agora calculamos \operatorname{sinc}(1):
\operatorname{sinc}(1)=\frac{\sin(\pi\cdot 1)}{\pi\cdot 1}=\frac{\sin\pi}{\pi}=0.
Portanto
f(t)=\operatorname{sinc}(1)\cos(2\pi t)=0\cdot\cos(2\pi t)=0\qquad\text{para todo }t.
Comentário intuitivo (opcional, mas ajuda a fixar): se você fizer a convolução diretamente,
f(t)=\int_{-1/2}^{1/2}\cos\big(2\pi(t-\tau)\big)\,d\tau
e desenvolver em produto de cosseno e seno, as integrais \int_{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi\tau)\,d\tau e \int_{-1/2}^{1/2}\sin(2\pi\tau)\,d\tau são ambas zero porque integramos uma cosseno e uma seno sobre um período inteiro (comprimento 1), daí o resultado zero — mesma conclusão da transformada.

Resposta

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