ou seja, é o retângulo de largura (1] centrado em zero. Vou usar a Transformada de Fourier com a convenção \mathcal{F}\{x(t)\}=X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2\pi f t}\,dt,
e a inversa x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{i2\pi f t}\,df.]
Passo 2
Lema importante que vamos usar (teorema da convolução):
Isto significa que a transformada da convolução é o produto ponto-a-ponto das transformadas. Então o plano é: calcular a transformada de \operatorname{rect}(t) e de \cos(2\pi t), multiplicar, e aplicar a transformada inversa.
Passo 3
Calcular \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}.
Pela definição da transformada,
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}(f)=\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i2\pi f t}\,dt.
Essa integral é elementar: é a diferença de exponenciais sobre um intervalo simétrico. Fazendo a conta,
\int_{-1/2}^{1/2} e^{-i2\pi f t}\,dt = \left.\frac{e^{-i2\pi f t}}{-i2\pi f}\right|_{t=-1/2}^{1/2} = \frac{e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}}{-i2\pi f} = \frac{\sin(\pi f)}{\pi f}.
e desenvolver em produto de cosseno e seno, as integrais \int_{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi\tau)\,d\tau e \int_{-1/2}^{1/2}\sin(2\pi\tau)\,d\tau são ambas zero porque integramos uma cosseno e uma seno sobre um período inteiro (comprimento 1), daí o resultado zero — mesma conclusão da transformada.