Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
f(t)=e^{-t} u(t) * \operatorname{sen}(2 \pi t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
y(t)=\bigl(e^{-t}u(t)\bigr)*\sin(2\pi t).
Informações fornecidas:
\text{função 1: } g(t)=e^{-t}u(t), \qquad \text{função 2: } h(t)=\sin(2\pi t).çãçã
Objetivo: encontrar y(t)=g*h usando a Transformada de Fourier e apresentar a expressão final explícita em t. Nada mais é pedido.

Passo 2

Vou usar a seguinte convenção de Transformada de Fourier (a mais comum em sinais):
\mathcal{F}\{x(t)\}=X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2\pi f t}\,dt,
\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}=x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)e^{j2\pi f t}\,df.
Propriedade chave (teorema da convolução): a convolução no tempo vira produto no domínio da frequência:
\mathcal{F}\{g*h\}=G(f)\,H(f).
Vamos então calcular G(f) e H(f), multiplicá-los e voltar ao tempo com a transformada inversa.

Passo 3

Calcular G(f)=\mathcal{F}\{e^{-t}u(t)\}.
Começamos com a integral (note que u(t) limita a integral para t\ge0):
G(f)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-j2\pi f t}\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-(1+j2\pi f)t}\,dt.
Essa é uma integral exponencial simples. Para \Re(1+j2\pi f)=1>0 a integral converge e vale
G(f)=\left[\frac{e^{-(1+j2\pi f)t}}{-(1+j2\pi f)}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{1+j2\pi f}.
Portanto
G(f)=\frac{1}{1+j2\pi f}.
Explicação didática rápida: integrais do tipo \int_0^\infty e^{-a t}dt são \frac{1}{a} quando \Re(a)>0. Aqui a=1+j2\pi f.

Passo 4

Calcular H(f)=\mathcal{F}\{\sin(2\pi t)\}.
Usamos a fórmula exponencial para seno:
\sin(2\pi t)=\frac{1}{2j}\bigl(e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}\bigr).
A transformada de e^{j2\pi f_0 t} é \delta(f-f_0). Aplicando isso:
H(f)=\frac{1}{2j}\bigl(\delta(f-1)-\delta(f+1)\bigr).
Comentário didático: o seno corresponde a duas componentes espectrais em f=+1 e f=-1 (frequência 1 Hz), com sinais/operações que aparecem pela diferença das deltas.

Passo 5

Multiplicar G(f) e H(f) para obter Y(f):
Y(f)=G(f)\,H(f) =\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{1+j2\pi f}\right)\bigl(\delta(f-1)-\delta(f+1)\bigr).
Usamos a propriedade de distribuição \varphi(f)\delta(f-f_0)=\varphi(f_0)\delta(f-f_0) (quando \varphi é contínua em f_0). Aplicando em cada delta:
Y(f)=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{1+j2\pi\cdot 1}\right)\delta(f-1) -\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{1+j2\pi\cdot(-1)}\right)\delta(f+1).
Ou seja
Y(f)=\frac{1}{2j}\frac{1}{1+j2\pi}\,\delta(f-1) -\frac{1}{2j}\frac{1}{1-j2\pi}\,\delta(f+1).

Passo 6

Aplicar a transformada inversa para voltar ao tempo:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} Y(f)e^{j2\pi f t}\,df.
Substituindo Y(f) e usando a propriedade da delta:
y(t)=\frac{1}{2j}\frac{1}{1+j2\pi}e^{j2\pi(1)t} -\frac{1}{2j}\frac{1}{1-j2\pi}e^{j2\pi(-1)t}.
Escrevendo de forma mais limpa:
y(t)=\frac{1}{2j}\left(\frac{e^{j2\pi t}}{1+j2\pi}-\frac{e^{-j2\pi t}}{1-j2\pi}\right).
Agora simplificamos para uma forma real e explícita. Colocamos o primeiro denominador em forma com conjugado:
\frac{1}{1+j2\pi}=\frac{1-j2\pi}{1+(2\pi)^2}=\frac{1-j2\pi}{1+4\pi^2},
e similarmente \frac{1}{1-j2\pi}=\frac{1+j2\pi}{1+4\pi^2}. Substituindo:
y(t)=\frac{1}{2j(1+4\pi^2)}\Bigl((1-j2\pi)e^{j2\pi t}-(1+j2\pi)e^{-j2\pi t}\Bigr).
Agora expandimos e separamos parte imaginária (pois a combinação dá função real). Uma forma direta é reconhecer a identidade
\frac{1}{2j}\bigl( c e^{j\omega t}-c^* e^{-j\omega t}\bigr)=\Im\{c e^{j\omega t}\}.
Tomando c=\dfrac{1}{1+j2\pi} e \omega=2\pi, obtemos
y(t)=\Im\!\Big\{\frac{e^{j2\pi t}}{1+j2\pi}\Big\}.
Fazendo a álgebra com senos e cossenos (ou expandindo explicitamente) obtemos a forma real explícita
y(t)=\frac{\sin(2\pi t)-2\pi\cos(2\pi t)}{1+4\pi^2}.
Verificação rápida: ao expandir a parte imaginária de \dfrac{1-j2\pi}{1+4\pi^2}( \cos(2\pi t)+j\sin(2\pi t)) chega-se exatamente a essa expressão.

Passo 7

Apresento também uma forma alternativa — amplitude e fase — que às vezes deixa a interpretação mais clara:
y(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4\pi^2}}\;\sin\!\bigl(2\pi t-\arctan(2\pi)\bigr).
Essa forma vem de escrever \dfrac{1}{1+j2\pi} em magnitude e fase: magnitude 1/\sqrt{1+4\pi^2} e fase -\arctan(2\pi).

Resposta

y(t)=\frac{\sin(2\pi t)-2\pi\cos(2\pi t)}{1+4\pi^2}

Exercícios relacionados