Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução
Informações fornecidas:
Objetivo: encontrar
usando a Transformada de Fourier e apresentar a expressão final explícita em
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Vou usar a seguinte convenção de Transformada de Fourier (a mais comum em sinais):
Propriedade chave (teorema da convolução): a convolução no tempo vira produto no domínio da frequência:
Vamos então calcular
e
, multiplicá-los e voltar ao tempo com a transformada inversa.
Passo 3
Calcular
.
Começamos com a integral (note que
limita a integral para
):
Essa é uma integral exponencial simples. Para
a integral converge e vale
Portanto
Explicação didática rápida: integrais do tipo
são
quando
. Aqui
.
Passo 4
Calcular
.
Usamos a fórmula exponencial para seno:
A transformada de
é
. Aplicando isso:
Comentário didático: o seno corresponde a duas componentes espectrais em
e
(frequência
Hz), com sinais/operações que aparecem pela diferença das deltas.
Passo 5
Multiplicar
e
para obter
:
Usamos a propriedade de distribuição
(quando
é contínua em
). Aplicando em cada delta:
Ou seja
Passo 6
Aplicar a transformada inversa para voltar ao tempo:
Substituindo
e usando a propriedade da delta:
Escrevendo de forma mais limpa:
Agora simplificamos para uma forma real e explícita. Colocamos o primeiro denominador em forma com conjugado:
e similarmente
. Substituindo:
Agora expandimos e separamos parte imaginária (pois a combinação dá função real). Uma forma direta é reconhecer a identidade
Tomando
e
, obtemos
Fazendo a álgebra com senos e cossenos (ou expandindo explicitamente) obtemos a forma real explícita
Verificação rápida: ao expandir a parte imaginária de
chega-se exatamente a essa expressão.
Passo 7
Apresento também uma forma alternativa — amplitude e fase — que às vezes deixa a interpretação mais clara:
Essa forma vem de escrever
em magnitude e fase: magnitude
e fase
.