Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
f(t)=\operatorname{sinc}(t) * \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{t}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
f(t)=\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Informações dadas e convenções que vou usar (importante para tudo que vem a seguir):
  • Vou usar a definição usual de engenharia/Análise matemática \operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t},com o valor por continuidade \operatorname{sinc}(0)=1.
  • A transformada de Fourier que uso é \mathcal{F}\{g\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{-i\omega t}\,dte a inversa é g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\{g\}(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.
  • A convolução é a usual (g*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.
  • Vou aplicar a Propriedade de Convolução (Teorema da Transformada de Fourier): a transformada da convolução é o produto das transformadas, \mathcal{F}\{g*h\}(\omega)=\mathcal{F}\{g\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{h\}(\omega).
Nada mais é pedido além de calcular f(t) explicitamente.

Passo 2

Transformada da função \operatorname{sinc}(t).
É um par bem conhecido (para a nossa convenção): a transformada de \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} é a função retângulo de largura 2\pi centrada em zero. Explicitamente,
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\}(\omega)=\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega),
onde \mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega) vale 1 se |\omega|\le\pi e vale 0 caso contrário.
Rápida verificação (só a ideia): pela inversa
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin(\pi t)}{t}=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\operatorname{sinc}(t),
o que garante a correspondência.

Passo 3

Transformada de \operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{t}{2}\right) (escala temporal).
Usamos a propriedade de escala temporal: se g_a(t)=g(at) com a\neq0, então
\mathcal{F}\{g(at)\}(\omega)=\frac{1}{|a|}G\!\left(\frac{\omega}{a}\right),
onde G=\mathcal{F}\{g\}.
Aqui a=\tfrac{1}{2} (porque g(t/2)=g(a t) com a=1/2), portanto para g=\operatorname{sinc} temos
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t/2)\}(\omega)=2\cdot\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}(\omega).
(A função é igual a 2 no intervalo |\omega|\le\pi/2 e zero fora.)

Passo 4

Transformada de \operatorname{sinc}^{2}\!\left(\dfrac{t}{2}\right).
Agora usamos que produto no tempo vira convolução na frequência:
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega) =\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t/2)\cdot\operatorname{sinc}(t/2)\}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\left( \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t/2)\} * \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t/2)\}\right)(\omega).
Substituindo o resultado do Passo 3:
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega) =\frac{1}{2\pi}\left(2\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}\;*\;2\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}\right)(\omega) =\frac{4}{2\pi}\left(\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}*\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}\right)(\omega).
Agora calculamos a convolução de duas funções retângulo idênticas. A convolução de \mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]} com ela mesma é uma função triangular com suporte |\omega|\le\pi e valor igual ao comprimento da sobreposição dos intervalos:
\left(\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}*\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}\right)(\omega)= \begin{cases} \pi-|\omega|, & |\omega|\le\pi,\\[4pt] 0, & |\omega|>\pi. \end{cases}
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\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega)=\frac{4}{2\pi}(\pi-|\omega|)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega) =\;2\Bigl(1-\frac{|\omega|}{\pi}\Bigr)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega).]

Passo 5

Produto das transformadas (Aplicando o Teorema da Convolução para o problema original).
Queremos f(t)=\operatorname{sinc}(t)*\operatorname{sinc}^{2}(t/2). Pela transformada:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega).
Do Passo 2 e Passo 4 temos
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}\}(\omega)=\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega), \qquad \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega)=2\Bigl(1-\frac{|\omega|}{\pi}\Bigr)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega).
Multiplicando:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega)\cdot 2\Bigl(1-\frac{|\omega|}{\pi}\Bigr)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega) =2\Bigl(1-\frac{|\omega|}{\pi}\Bigr)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega).
Observação importante (intuição): a \mathbf{1}_{[-\pi,\pi]} age como um filtro ideal que vale 1 dentro do intervalo |\omega|\le\pi. Como a outra função já tem suporte nesse intervalo, o produto não altera nada: \mathcal{F}\{f\}=\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}.

Passo 6

Inversão para obter f(t).
Já vimos no Passo 4 que a transformada
G(\omega):=(\pi-|\omega|)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega)
é a convolução de dois retângulos e cuja transformada inversa (pela propriedade já usada) é
\mathcal{F}^{-1}\{G\}(t)=\frac{\pi}{2}\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
(Esse resultado pode ser obtido também raciocinando: G= \mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}*\mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]}, a inversa de \mathbf{1}_{[-\pi/2,\pi/2]} é \tfrac{1}{2}\operatorname{sinc}(t/2), e aplicando as constantes da transformada e do teorema do produto convém o fator \pi/2 — essa verificação foi feita no desenvolvimento anterior.)
Como
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{2}(t/2)\}(\omega)=\frac{4}{2\pi}G(\omega)=\frac{2}{\pi}G(\omega),
inverter dá
\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right) =\mathcal{F}^{-1}\Big\{\frac{2}{\pi}G(\omega)\Big\}(t) =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right) =\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right),
confirmando consistência.
No nosso caso \mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\bigl(1-\tfrac{|\omega|}{\pi}\bigr)\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(\omega)=\dfrac{2}{\pi}G(\omega). Portanto a transformada inversa é exatamente
f(t)=\operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Intuição final: como \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}\}(\omega)=1 em |\omega|\le\pi, convoluir no tempo por \operatorname{sinc}(t) não altera sinais cuja energia espectral já esteja contida nesse intervalo; aqui \operatorname{sinc}^{2}(t/2) é band-limited a |\omega|\le\pi, então a convolução deixa-a inalterada.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sinc}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)

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