Calcule as seguintes convoluções usando a Transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução
Informações dadas e convenções que vou usar (importante para tudo que vem a seguir):
- Vou usar a definição usual de engenharia/Análise matemática
com o valor por continuidade . - A transformada de Fourier que uso é
e a inversa é - A convolução é a usual
- Vou aplicar a Propriedade de Convolução (Teorema da Transformada de Fourier): a transformada da convolução é o produto das transformadas,
Nada mais é pedido além de calcular
explicitamente.
Passo 2
Transformada da função
.
É um par bem conhecido (para a nossa convenção): a transformada de
é a função retângulo de largura
centrada em zero. Explicitamente,
onde
vale
se
e vale
caso contrário.
Rápida verificação (só a ideia): pela inversa
o que garante a correspondência.
Passo 3
Transformada de
(escala temporal).
Usamos a propriedade de escala temporal: se
com
, então
onde
.
Aqui
(porque
com
), portanto para
temos
(A função é igual a
no intervalo
e zero fora.)
Passo 4
Transformada de
.
Agora usamos que produto no tempo vira convolução na frequência:
Substituindo o resultado do Passo 3:
Agora calculamos a convolução de duas funções retângulo idênticas. A convolução de
com ela mesma é uma função triangular com suporte
e valor igual ao comprimento da sobreposição dos intervalos:
Logo
Passo 5
Produto das transformadas (Aplicando o Teorema da Convolução para o problema original).
Queremos
. Pela transformada:
Do Passo 2 e Passo 4 temos
Multiplicando:
Observação importante (intuição): a
age como um filtro ideal que vale
dentro do intervalo
. Como a outra função já tem suporte nesse intervalo, o produto não altera nada:
.
Passo 6
Inversão para obter
.
Já vimos no Passo 4 que a transformada
é a convolução de dois retângulos e cuja transformada inversa (pela propriedade já usada) é
(Esse resultado pode ser obtido também raciocinando:
, a inversa de
é
, e aplicando as constantes da transformada e do teorema do produto convém o fator
— essa verificação foi feita no desenvolvimento anterior.)
Como
inverter dá
confirmando consistência.
No nosso caso
. Portanto a transformada inversa é exatamente
Intuição final: como
em
, convoluir no tempo por
não altera sinais cuja energia espectral já esteja contida nesse intervalo; aqui
é band-limited a
, então a convolução deixa-a inalterada.