Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
f(t)=e^{-2 t} u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
f(t)=e^{-2 t}\,u(t)
onde u(t) é a função degrau unitário (ou função de Heaviside). A tarefa é:
  1. Calcular a Transformada de Fourier (TF) F(\omega) de f(t).
  2. Construir o diagrama do módulo |F(\omega)| em função da frequência (considerando \omega positivo e negativo).
  3. Construir o diagrama da fase \angle F(\omega) em função da frequência (considerando \omega positivo e negativo).
Informações importantes fornecidas:
  • Sinal definido para todo t, mas multiplicado por u(t) (ou seja, f(t)=0 para t<0 e f(t)=e^{-2t} para t\ge0).
  • Constante de decaimento exponencial igual a 2.

Passo 2

Revisão curta e necessária: definição da Transformada de Fourier que vamos usar. Para um sinal f(t) causal e absolutamente integrável, a TF é
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \omega é a frequência angular (rad/s). A integral converge se a parte real do expoente da exponencial que aparece na integração for positiva (detalhe que veremos no cálculo).
Também é útil lembrar a integral básica de uma exponencial real positiva no expoente:
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a},\quad\text{desde que }\operatorname{Re}(a)>0.
Vou usar essa fórmula substituindo a por uma expressão complexa quando necessário — isso é válido desde que a parte real de a seja positiva.

Passo 3

Aplicando a definição da TF ao nosso f(t). Como f(t)=0 para t<0, podemos mudar os limites de integração para 0 a \infty:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2t}u(t)\,e^{-j\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j\omega t}\,dt.
Juntando os exponenciais:
F(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-(2+j\omega)t}\,dt.
Aqui a constante no expoente é a=2+j\omega. Note que \operatorname{Re}(a)=2>0, logo a integral converge e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calcule a integral usando a fórmula:
F(\omega)=\frac{1}{2+j\omega}.
Essa é a forma mais direta. Para argumentar melhor (e poder extrair módulo e fase), posso multiplicar numerador e denominador pelo conjugado complexo do denominador:
Multiplicando por \dfrac{2-j\omega}{2-j\omega}:
F(\omega)=\frac{1}{2+j\omega}\cdot\frac{2-j\omega}{2-j\omega}=\frac{2-j\omega}{(2+j\omega)(2-j\omega)}=\frac{2-j\omega}{4+\omega^{2}}.
Dessa forma temos explicitamente a parte real e imaginária:
\operatorname{Re}\{F(\omega)\}=\frac{2}{4+\omega^{2}},\qquad \operatorname{Im}\{F(\omega)\}=\frac{-\omega}{4+\omega^{2}}.

Passo 5

Agora obtenho o módulo |F(\omega)|. O módulo de um número complexo X é |X|=\sqrt{(\operatorname{Re}X)^{2}+(\operatorname{Im}X)^{2}}. Usando a forma \dfrac{1}{2+j\omega} é mais simples:
|F(\omega)|=\left|\frac{1}{2+j\omega}\right|=\frac{1}{|2+j\omega|}=\frac{1}{\sqrt{2^{2}+\omega^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4+\omega^{2}}}.
Propriedades importantes do módulo:
  • |F(\omega)| é uma função par: |F(-\omega)|=|F(\omega)|.
  • Valor no centro ( \omega=0): |F(0)|=\dfrac{1}{2}.
  • Decaimento para altas frequências: quando |\omega|\to\infty, |F(\omega)|\approx\dfrac{1}{|\omega|} (decai como 1/|ω|).
  • Forma visual: é uma campana suave (tipo Lorentziana) com máximo em \omega=0 e caindo simetricamente para 0 quando |\omega|\to\infty.

Passo 6

Cálculo da fase \angle F(\omega). Para um número complexo A+jB, \arg(A+jB)=\operatorname{atan2}(B,A). Para F(\omega)=\dfrac{1}{2+j\omega} podemos escrever a fase como o negativo do argumento de 2+j\omega:
\angle F(\omega)=-\angle(2+j\omega).
Como o real 2>0, o ângulo de 2+j\omega é \arctan\!\big(\dfrac{\omega}{2}\big). Portanto
\angle F(\omega)=-\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{2}\bigg).
Também pode-se obter usando as partes real e imaginária já encontradas:
\angle F(\omega)=\operatorname{atan2}\!\left(\frac{-\omega}{4+\omega^{2}},\frac{2}{4+\omega^{2}}\right) =\operatorname{atan2}(-\omega,2)=-\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{2}\bigg).
Propriedades e limites:
  • \angle F(0)=0 (porque \arctan(0)=0).
  • \angle F(\omega) é função ímpar: \angle F(-\omega)=-\angle F(\omega).
  • Limites: quando \omega\to+\infty, \arctan(\omega/2)\to\pi/2, então \angle F(\omega)\to -\pi/2. Quando \omega\to -\infty, \angle F(\omega)\to +\pi/2.
  • Para \omega=2 temos \angle F(2)=-\arctan(1)=-\pi/4 (ou -45^\circ). Para \omega=-2 temos \angle F(-2)=+\pi/4.

Passo 7

Como desenhar (construir) os diagramas:
  • Diagrama do módulo |F(\omega)|: traçar |F(\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{4+\omega^{2}}}. Pontos úteis:
    • \omega=0\Rightarrow |F|=1/2.
    • \omega=\pm 2\Rightarrow |F|=1/\sqrt{8}=1/(2\sqrt{2})\approx 0,3536.
    • |F(\omega)| é simétrica em torno de \omega=0, com máximo em 1/2 e decrescente em ambos os lados, tendência assintótica a 0.
    • No esboço, comece em 0,5 no eixo vertical e faça uma curva suave decaindo para zero quando |\omega| aumenta.
  • Diagrama da fase \angle F(\omega)=-\arctan(\omega/2):
    • É uma curva ímpar que cruza a origem: \angle F(0)=0.
    • Tende a -\pi/2 para \omega\to+\infty e a +\pi/2 para \omega\to-\infty.
    • Para \omega=2 vale -\pi/4 e para \omega=-2 vale +\pi/4.
    • No esboço, faça uma curva que começa em +\pi/2 à esquerda, cruza em zero no centro e decresce até -\pi/2 à direita.

Passo 8

Resumo numérico rápido (para ajudar no esboço):
\begin{aligned} F(\omega)&=\frac{1}{2+j\omega}=\frac{2-j\omega}{4+\omega^{2}},\\[4pt] |F(\omega)|&=\frac{1}{\sqrt{4+\omega^{2}}},\\[4pt] \angle F(\omega)&=-\arctan\!\bigg(\frac{\omega}{2}\bigg). \end{aligned}
Valores específicos:
\begin{aligned} |F(0)|&=\tfrac{1}{2}, & \angle F(0)&=0,\\[4pt] |F(2)|&=\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0{,}3536, & \angle F(2)&=-\tfrac{\pi}{4},\\[4pt] \lim_{\omega\to\infty}|F(\omega)|&=0, & \lim_{\omega\to\infty}\angle F(\omega)&=-\tfrac{\pi}{2}. \end{aligned}]

Resposta

F(\omega)=\dfrac{1}{2+j\omega}=\dfrac{2-j\omega}{4+\omega^{2}}\n
|F(\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{4+\omega^{2}}}\n
\angle F(\omega)=-\arctan\!\bigg(\dfrac{\omega}{2}\bigg)

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