Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa. f(t)=e^{-2 t} u(t)
Passo 1
O enunciado dá o sinal
f(t)=e^{-2 t}\,u(t)
onde u(t) é a função degrau unitário (ou função de Heaviside). A tarefa é:
Calcular a Transformada de Fourier (TF) F(\omega) de f(t).
Construir o diagrama do módulo |F(\omega)| em função da frequência (considerando \omega positivo e negativo).
Construir o diagrama da fase \angle F(\omega) em função da frequência (considerando \omega positivo e negativo).
Informações importantes fornecidas:
Sinal definido para todo t, mas multiplicado por u(t) (ou seja, f(t)=0 para t<0 e f(t)=e^{-2t} para t\ge0).
Constante de decaimento exponencial igual a 2.
Passo 2
Revisão curta e necessária: definição da Transformada de Fourier que vamos usar. Para um sinal f(t) causal e absolutamente integrável, a TF é
Aqui j é a unidade imaginária (j^2=-1) e \omega é a frequência angular (rad/s). A integral converge se a parte real do expoente da exponencial que aparece na integração for positiva (detalhe que veremos no cálculo).
Também é útil lembrar a integral básica de uma exponencial real positiva no expoente:
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a},\quad\text{desde que }\operatorname{Re}(a)>0.
Vou usar essa fórmula substituindo a por uma expressão complexa quando necessário — isso é válido desde que a parte real de a seja positiva.
Passo 3
Aplicando a definição da TF ao nosso f(t). Como f(t)=0 para t<0, podemos mudar os limites de integração para 0 a \infty:
Aqui a constante no expoente é a=2+j\omega. Note que \operatorname{Re}(a)=2>0, logo a integral converge e podemos usar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calcule a integral usando a fórmula:
F(\omega)=\frac{1}{2+j\omega}.
Essa é a forma mais direta. Para argumentar melhor (e poder extrair módulo e fase), posso multiplicar numerador e denominador pelo conjugado complexo do denominador:
Agora obtenho o módulo |F(\omega)|. O módulo de um número complexo X é |X|=\sqrt{(\operatorname{Re}X)^{2}+(\operatorname{Im}X)^{2}}. Usando a forma \dfrac{1}{2+j\omega} é mais simples:
|F(\omega)| é uma função par: |F(-\omega)|=|F(\omega)|.
Valor no centro (\omega=0): |F(0)|=\dfrac{1}{2}.
Decaimento para altas frequências: quando |\omega|\to\infty, |F(\omega)|\approx\dfrac{1}{|\omega|} (decai como 1/|ω|).
Forma visual: é uma campana suave (tipo Lorentziana) com máximo em \omega=0 e caindo simetricamente para 0 quando |\omega|\to\infty.
Passo 6
Cálculo da fase \angle F(\omega). Para um número complexo A+jB, \arg(A+jB)=\operatorname{atan2}(B,A). Para F(\omega)=\dfrac{1}{2+j\omega} podemos escrever a fase como o negativo do argumento de 2+j\omega:
\angle F(\omega)=-\angle(2+j\omega).
Como o real 2>0, o ângulo de 2+j\omega é \arctan\!\big(\dfrac{\omega}{2}\big). Portanto