Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
f(t)=u(t)

Passo 1

Enunciado e o que se pede (com calma, sem pânico):
  • Dado: f(t)=u(t), onde u(t) é a função degrau unitário (ou Heaviside).
  • Pedidos: calcular a Transformada de Fourier de u(t) (no sentido bilateral, ou seja \displaystyle X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt), e construir os diagramas de módulo e fase em função da frequência, considerando frequências positivas e negativas.
  • Informações que eu vou usar (já fornecidas pelo enunciado implicitamente): u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t>0. O ponto t=0 não altera a transformada (é um ponto isolado).

Passo 2

Definição da transformada e problema da convergência (por que não dá direto):
  • A definição que usamos é
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt.
  • Se tentarmos aplicar direto com x(t)=u(t) obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-j\omega t}\,dt,
que não converge no sentido usual (oscila). Para contornar isso, usamos uma técnica padrão: regularizar com um fator de decaimento e tirar limite. Isso é legítimo e leva a um resultado em sentido de distribuições (implica aparecerem deltões e valor principal). Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Regularização com fator de convergência \alpha>0 e cálculo da integral:
  • Considere u_\alpha(t)=e^{-\alpha t}u(t) com \alpha>0. Essa função tende a u(t) ponto a ponto quando \alpha\to 0^+. Para \alpha>0 a transformada existe normalmente:
X_\alpha(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-j\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha+j\omega)t}\,dt.
  • Usamos a fórmula básica da integral exponencial (válida quando \Re(\alpha+j\omega)=\alpha>0):
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\quad(\Re(s)>0).
Aplicando com s=\alpha+j\omega obtemos
X_\alpha(\omega)=\frac{1}{\alpha+j\omega}.

Passo 4

Manipulação algébrica para estudar o limite \alpha\to 0^+:
  • Escrevo X_\alpha(\omega) separando parte real e imaginária:
\frac{1}{\alpha+j\omega}=\frac{\alpha-j\omega}{\alpha^2+\omega^2}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}-j\frac{\omega}{\alpha^2+\omega^2}.
  • Agora vamos analisar o comportamento quando \alpha\to 0^+:
    • O termo \dfrac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2} é a clássica forma de “Lorentziana” que aproxima um delta: em sentido de distribuições
    \lim_{\alpha\to 0^+}\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}=\pi\delta(\omega).Intuição rápida: a função tem área \pi independentemente de \alpha e concentra-se em \omega=0 quando \alpha diminui.
    • O termo \dfrac{\omega}{\alpha^2+\omega^2} para \alpha\to 0^+ converge (no sentido de valor principal) para \operatorname{PV}\!\left(\dfrac{1}{\omega}\right). Ou seja, para \omega\neq 0 ele tende a 1/\omega, e como distribuição usamos a parte principal (principal value, PV) para tratar a singularidade em \omega=0.

Passo 5

Aplicando os limites e escrevendo o resultado em forma de distribuição:
  • Juntando os limites:
\lim_{\alpha\to 0^+}\frac{1}{\alpha+j\omega}=\pi\delta(\omega)-j\,\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{\omega}\right).
  • Reescrevendo a parte imaginária em forma compacta usando j=\mathrm{i}:
-j\,\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{\omega}\right)=\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{j\omega}\right).
Portanto a transformada de u(t), em sentido de distribuições, é
\boxed{\,U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{j\omega}\right)\,}
ou, de forma frequentemente encontrada na literatura,
U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\quad(\text{entendendo }\tfrac{1}{j\omega}\text{ como PV no ponto } \omega=0).

Passo 6

Interpretação física-matemática do resultado (o que cada termo significa):
  • O termo \pi\delta(\omega) representa componente de frequência zero (CC) associada ao degrau (a área infinita em tempo resulta em componente de DC). A massa do delta é \pi.
  • O termo \operatorname{PV}\!\left(\dfrac{1}{j\omega}\right) é a parte contínua que descreve o comportamento para \omega\neq 0. É singular em \omega=0 (tem comportamento como 1/\omega) e precisa de interpretação em valor principal.

Passo 7

Cálculo do módulo e da fase para \omega\neq 0 (onde podemos tratar a parte contínua isoladamente):
  • Para \omega\neq 0 a delta não contribui (delta só age em \omega=0), portanto a função é simplesmente
U(\omega)=\frac{1}{j\omega}\quad(\omega\neq 0).
  • Calculemos módulo:
\left| \frac{1}{j\omega}\right|=\frac{1}{|\omega|}.
Isto é, o módulo é uma hipérbole simétrica que cresce quando \omega se aproxima de zero e decai como 1/|\omega| para altas frequências.
  • E a fase (argumento): escrevemos
\frac{1}{j\omega}=-j\frac{1}{\omega}.
Se \omega>0: \dfrac{1}{\omega}>0 e o fator -j tem fase -\tfrac{\pi}{2}. Logo
\arg U(\omega)=-\frac{\pi}{2}\quad(\omega>0).
Se \omega<0: \dfrac{1}{\omega}<0, então -j\cdot(\text{negativo})=j\cdot(\text{positivo}) que tem fase +\tfrac{\pi}{2}. Logo
\arg U(\omega)=+\frac{\pi}{2}\quad(\omega<0).

Passo 8

Comportamento em \omega=0 e como desenhar os diagramas (prática para a prova):
  • Em \omega=0 temos duas manifestações de “infinito”: a parte contínua \dfrac{1}{j\omega} diverge como 1/|\omega| e, além disso, existe um pico impulsivo \pi\delta(\omega). Em teoria de sinais representamos isso desenhando:
    • Diagrama de módulo: para \omega\neq 0 plotamos 1/|\omega| (simétrico em torno de zero). Em \omega=0 colocamos uma barra vertical (spike) com área \pi indicando \pi\delta(\omega). Ressalto: o gráfico exato do módulo no ponto \omega=0 não é bem definido no sentido clássico (distribuições), então o desenho é simbólico: hipérbole para \omega\neq 0 + delta de área \pi em zero.
    • Diagrama de fase: para \omega>0 a fase é constante -\tfrac{\pi}{2}; para \omega<0 a fase é constante +\tfrac{\pi}{2}. Em \omega=0 a fase é indefinida (porque há a mistura contínua + delta). Na prática de prova você desenha uma linha em -\tfrac{\pi}{2} à direita do zero e outra em +\tfrac{\pi}{2} à esquerda, com um ponto de atenção em zero.

Passo 9

Resumo prático — como responder rapidamente na prova (cola mental):
  • Método rápido: regularize com e^{-\alpha t}, calcule \dfrac{1}{\alpha+j\omega}, passe ao limite \alpha\to 0^+ e use as identidades da Lorentziana para obter delta + PV.
  • Resultado que você deve escrever sem explicação longa (mas entendendo o que significa):
U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{j\omega}\right).
  • Módulo para \omega\neq 0: \left|U(\omega)\right|=\dfrac{1}{|\omega|}.
  • Fase: \arg U(\omega)=-\dfrac{\pi}{2} para \omega>0 e \arg U(\omega)=+\dfrac{\pi}{2} para \omega<0. Em \omega=0 há o delta; a fase não é definida de modo simples.

Resposta

\displaystyle U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\operatorname{PV}\!\left(\frac{1}{j\omega}\right)\) \(\displaystyle |U(\omega)|=\frac{1}{|\omega|}\quad(\omega\neq 0)\) com um pico impulsivo de área \(\pi\) em \(\omega=0\) devido a \(\pi\delta(\omega)\) \(\displaystyle \arg U(\omega)=\begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}, & \omega>0,\\[6pt] +\dfrac{\pi}{2}, & \omega<0, \end{cases} (fase indefinida em \omega=0 devido à presença do delta e da singularidade)]

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