Calcule as seguintes derivadas:
d) d/dx ((x^3 + 6)^4 + x)^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo diferencial que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar principalmente a Regra da Cadeia e a Regra do Poder. A Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra, e a Regra do Poder nos ajuda a derivar funções elevadas a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo derivada: . Para aplicar a Regra da Cadeia, vamos quebrar essa função em camadas:
  1. A função externa é , onde .
  2. A função interna é composta por mais .

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa em relação a . Usando a Regra do Poder:
Isso nos dá a primeira parte da derivada.

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente.
Para , aplicamos novamente a Regra da Cadeia. Seja , então:
Derivando em relação a :
Portanto:
Para o termo , a derivada em relação a é simplesmente 1.

Passo 5

Agora, combinando as derivadas dos termos da função interna:

Passo 6

Finalmente, aplicando a Regra da Cadeia completa, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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