Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
o) d/dx log_a(x) = 1 / (ln(a) * x), a é um número real, a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a derivada da função logaritmo na base , ou seja, , é igual a . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente regras de derivação de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender a relação entre logaritmos de diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos alterar a base do logaritmo usando a fórmula de mudança de base:
Isso significa que o logaritmo na base de é igual ao logaritmo natural de dividido pelo logaritmo natural de . Essa transformação vai facilitar a derivação.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a usando a expressão que acabamos de obter:
Como é uma constante (porque é uma constante), podemos tirar esse fator constante para fora da derivada:

Passo 4

Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, substituindo isso na nossa expressão:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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