Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
o)
.
o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a derivada da função logaritmo na base
, ou seja,
, é igual a
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente regras de derivação de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender a relação entre logaritmos de diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos alterar a base do logaritmo usando a fórmula de mudança de base:
Isso significa que o logaritmo na base
de
é igual ao logaritmo natural de
dividido pelo logaritmo natural de
. Essa transformação vai facilitar a derivação.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a expressão que acabamos de obter:
Como
é uma constante (porque
é uma constante), podemos tirar esse fator constante para fora da derivada:
Passo 4
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então, substituindo isso na nossa expressão:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que: