Calcule as seguintes derivadas:
(e) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\left(2 x^{3}+x+1\right) \cdot \operatorname{sen}(x) ? (Dica: Use a regra do produto).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(2x^{3} + x + 1\bigr)\,\operatorname{sen}(x)
ou seja, é o produto de duas funções
u(x) = 2x^{3} + x + 1 \quad\text{e}\quad v(x) = \operatorname{sen}(x).
Para resolver, vamos usar a regra do produto, que diz:
(fg)' = f'\,g + f\,g'.

Passo 2

Calcular u'(x). Aplicando a regra da potência em cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{3}) = 6x^{2}
  • \dfrac{d}{dx}(x) = 1
  • \dfrac{d}{dx}(1) = 0
    Logo,
u'(x) = 6x^{2} + 1.

Passo 3

Calcular v'(x). Sabemos que a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x), então
v'(x) = \cos(x).

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) = \bigl(6x^{2} + 1\bigr)\,\operatorname{sen}(x) + \bigl(2x^{3} + x + 1\bigr)\,\cos(x).

Resposta

f'(x) = (6x^{2} + 1)\,\operatorname{sen}(x) + (2x^{3} + x + 1)\,\cos(x).

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